2.1 Électrodynamique
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δr
v 1
v 2
v 3
v 4
v 5
v 6
r 1
r 2
r 3
r 4
r 5
r 6
Figure 2.2 Marche aléatoire libre.
Indépendamment de toute considération dynamique sur la nature des collisions, p (t)
possède donc deux propriétés évidentes et certaines :
p (0) = 1,
p (dt) =
p (0) +
dp
dt
t=0
dt
=
1 −
dt
t
dt/t peut être interprété comme la probabilité de collision durant une durée dt. La
probabilité pour qu’un libre parcours, sans collision, ait une durée dt 1 + dt 2 + dt 3
est donnée par le produit p (dt 1 ) p (dt 2 ) p (dt 3 ) car les différentes sections de libre
parcours constituent des événements indépendants.
p(dt 1 + dt 2 + dt 3 ) =
1 −
dt 1
t
1 −
dt 2
t
1 −
dt 3
t
Considérons maintenant une durée finie, t, et décomposons-la en une somme de K
durées infinitésimales dt : t = K dt. Les arguments d’indépendance précédents permettent alors d’établir la loi de probabilité de la durée d’un libre parcours.
p (t) =
1 −
t/K
t
K
−→
K →+∞
exp
−
t
t
Le temps moyen entre deux collisions, t, s’exprime à partir de la loi de la probabilité comme la moyenne de t ; la dispersion des temps de libre parcours est donnée
par la valeur moyenne du carré du temps de libre parcours
t
2
.
t =
+∞
0
t p (t) dt
+∞
0
p (t) dt
= t,
t
2
=
+∞
0
t
2 p (t) dt
+∞
0
p (t) dt
= 2t
2
La signification physique du coefficient t est donc celle d’un temps moyen entre deux
collisions : t = t. Le résultat final est une loi de décroissance exponentielle s’exprimant à l’aide d’un seul paramètre physique : le temps moyen entre deux collisions,
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