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2 • Champs, particules et fluides
résout ces équations de Maxwell dans le cadre de problèmes d’interactions champsparticules, ces deux constantes apparaissent souvent sous la forme de deux combinaisons : leur rapport et leur produit ; ces deux combinaisons ne sont autre que le
carré de l’inverse de la vitesse de la lumière dans le vide c
2 et le carré l’impédance
du vide h
2
0 : c = 1/
√
´ 0 m 0 = 2, 99 × 10
8 m/s et h 0 =
m 0 /´ 0 = 376, 73 V.
Au-delà des propriétés dynamiques et structurelles des champs, les équations de
Maxwell, complétées par le principe de relativité, vérifient aussi des propriétés de
transformation entre deux référentiels inertiels en translation uniforme. Soit R un
premier référentiel, où sont mesurés des champs électriques et magnétiques (E, B).
Soit R
un deuxième référentiel, en translation uniforme par rapport à R à la vitesse
V. Dans R
les champs mesurés sont
E
, B
, l’expression de
E
, B
en fonction
de E et B est donnée par la transformation de Lorentz :
E
= gE + gV × B −
g − 1
c 2 (V·E) V →
g→1
E
= E + V × B
B
= gB −
g
c 2 V × E −
g − 1
c 2 (V·B) V →
g→1
B
= B
où nous avons introduit le facteur gamma : g = 1/
1 − V 2 /c 2 . La limite non relativiste (V/c → 0, g → 1) se réduit donc à la description du champ d’induction de
Lorentz :
E
= E + V × B
(2.1)
que nous retrouverons dans le contexte de la magnétohydrodynamique au chapitre
sept.
2.1.1 Conduction et diffusion
Étudions le modèle de Lorentz d’un plasma ; dans le cadre de ce modèle un plasma
est considéré comme un ensemble d’électrons en interaction avec une population de
particules lourdes, qui peuvent être : (i) soit des ions, (ii) soit des atomes ou des
molécules ; l’ensemble de ces phases constituant un milieu dilué, la dynamique d’un
électron est donc une série de mouvements libres interrompues par des collisions
(Figure 2.2).
Libre Parcours / Collision / Libre Parcours / Collision / Libre Parcours...
Afin de décrire cette dynamique aléatoire, introduisons une loi de probabilité décrivant la probabilité pour qu’un libre parcours ait une durée minimum t ; appelons cette
loi de probabilité p (t). Sur une durée infinitésimale dt la probabilité de collision est
proportionnelle à dt et la probabilité de libre parcours (pas de collision) correspondant à l’événement complémentaire est donc donnée par 1 moins cette probabilité de
collision ; en effet, il n’y a que deux possibilités, collision ou libre parcours.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2 • Champs, particules et fluides
résout ces équations de Maxwell dans le cadre de problèmes d’interactions champsparticules, ces deux constantes apparaissent souvent sous la forme de deux combinaisons : leur rapport et leur produit ; ces deux combinaisons ne sont autre que le
carré de l’inverse de la vitesse de la lumière dans le vide c
2 et le carré l’impédance
du vide h
2
0 : c = 1/
√
´ 0 m 0 = 2, 99 × 10
8 m/s et h 0 =
m 0 /´ 0 = 376, 73 V.
Au-delà des propriétés dynamiques et structurelles des champs, les équations de
Maxwell, complétées par le principe de relativité, vérifient aussi des propriétés de
transformation entre deux référentiels inertiels en translation uniforme. Soit R un
premier référentiel, où sont mesurés des champs électriques et magnétiques (E, B).
Soit R
un deuxième référentiel, en translation uniforme par rapport à R à la vitesse
V. Dans R
les champs mesurés sont
E
, B
, l’expression de
E
, B
en fonction
de E et B est donnée par la transformation de Lorentz :
E
= gE + gV × B −
g − 1
c 2 (V·E) V →
g→1
E
= E + V × B
B
= gB −
g
c 2 V × E −
g − 1
c 2 (V·B) V →
g→1
B
= B
où nous avons introduit le facteur gamma : g = 1/
1 − V 2 /c 2 . La limite non relativiste (V/c → 0, g → 1) se réduit donc à la description du champ d’induction de
Lorentz :
E
= E + V × B
(2.1)
que nous retrouverons dans le contexte de la magnétohydrodynamique au chapitre
sept.
2.1.1 Conduction et diffusion
Étudions le modèle de Lorentz d’un plasma ; dans le cadre de ce modèle un plasma
est considéré comme un ensemble d’électrons en interaction avec une population de
particules lourdes, qui peuvent être : (i) soit des ions, (ii) soit des atomes ou des
molécules ; l’ensemble de ces phases constituant un milieu dilué, la dynamique d’un
électron est donc une série de mouvements libres interrompues par des collisions
(Figure 2.2).
Libre Parcours / Collision / Libre Parcours / Collision / Libre Parcours...
Afin de décrire cette dynamique aléatoire, introduisons une loi de probabilité décrivant la probabilité pour qu’un libre parcours ait une durée minimum t ; appelons cette
loi de probabilité p (t). Sur une durée infinitésimale dt la probabilité de collision est
proportionnelle à dt et la probabilité de libre parcours (pas de collision) correspondant à l’événement complémentaire est donc donnée par 1 moins cette probabilité de
collision ; en effet, il n’y a que deux possibilités, collision ou libre parcours.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit