2.1 Électrodynamique
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de la température T e et de la densité n e par la formule : m r = 1 + m 0 n e kT e /B
2
lorsque B
2
m 0 n e kT e . Ces différents résultats, établis dans les chapitres suivants,
démontrent la nécessité d’une bonne maîtrise des concepts de permittivité diélectrique et de perméabilité magnétique ainsi que d’une compréhension approfondie
de l’origine physique de la loi d’Ohm : J l = hE. Le paragraphe suivant est donc
consacré à des rappels d’électrodynamique des milieux continus dont le problème
central est d’établir les relations permettant d’exprimer charges et courants en
fonction des champs : J(E, B), r(E, B).
Partant du théorème de représentation de Helmoltz, qui s’énonce ainsi : un champ
de vecteur, différentiable presque partout et s’annulant suffisamment rapidement à
l’infini, est entièrement déterminé par sa divergence et son rotationnel (ce théorème
n’est en fait qu’une généralisation 3D d’un autre théorème 1D bien connu :
une fonction s’annulant à l’infini est entièrement déterminée par sa dérivée), il est
d’usage de considérer les quatre équations de Maxwell sur un pied d’égalité. Les
équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère :
Équation de Maxwell-Faraday : ∇ × E = −
∂B
∂t
Équation de Maxwell-Ampère : ∇ × B = m 0 J + m 0 ´ 0
∂E
∂t
pour les rotationnels et ∇.E = r/´ 0 , ∇.B = 0 pour les divergences. Deux de
ces quatre équations ont un caractère dynamique et les deux autres ont un statut de
contraintes initiales : les équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère doivent
être considérées comme un problème d’évolution où les deux autres équations sur
les divergences sont des contraintes initiales. En effet, la conservation du nombre
de particules conduit à la conservation de la charge ; complétée par la divergence de
l’équation de Maxwell-Ampère, la conservation de la charge a pour conséquence la
nullité de la dérivée temporelle de l’équation de Maxwell-Gauss.
Équation de conservation de la charge : ∇.J+
∂r
∂t
= 0 →
∂
∂t
∇.E −
r
´ 0
= 0
Ainsi, si l’équation de Maxwell-Gauss est vérifiée à l’instant initial, elle le demeure
aux instants ultérieurs par simple conservation de la charge. De même la divergence
de l’équation de Maxwell-Faraday implique : ∂∇.B/∂t = 0 ; ainsi, si la divergence
du champ magnétique est nulle à l’instant initial, elle le demeure ultérieurement.
Les deux équations de Maxwell sur les divergences possèdent donc le statut de
contraintes initiales sur la structure des champs et les deux équations de MaxwellAmpère et Maxwell-Faraday assurent le maintien de ces contraintes structurelles si
la conservation de la charge est garantie à travers les équations décrivant la dynamique de la matière. L’expression des équations de Maxwell nécessite l’introduction
de deux constantes fondamentales, la permittivité diélectrique du vide : ´ 0 = 8, 85
pF/m et la perméabilité magnétique du vide : m 0 = 1, 26 mH/m ; lorsque l’on
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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de la température T e et de la densité n e par la formule : m r = 1 + m 0 n e kT e /B
2
lorsque B
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m 0 n e kT e . Ces différents résultats, établis dans les chapitres suivants,
démontrent la nécessité d’une bonne maîtrise des concepts de permittivité diélectrique et de perméabilité magnétique ainsi que d’une compréhension approfondie
de l’origine physique de la loi d’Ohm : J l = hE. Le paragraphe suivant est donc
consacré à des rappels d’électrodynamique des milieux continus dont le problème
central est d’établir les relations permettant d’exprimer charges et courants en
fonction des champs : J(E, B), r(E, B).
Partant du théorème de représentation de Helmoltz, qui s’énonce ainsi : un champ
de vecteur, différentiable presque partout et s’annulant suffisamment rapidement à
l’infini, est entièrement déterminé par sa divergence et son rotationnel (ce théorème
n’est en fait qu’une généralisation 3D d’un autre théorème 1D bien connu :
une fonction s’annulant à l’infini est entièrement déterminée par sa dérivée), il est
d’usage de considérer les quatre équations de Maxwell sur un pied d’égalité. Les
équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère :
Équation de Maxwell-Faraday : ∇ × E = −
∂B
∂t
Équation de Maxwell-Ampère : ∇ × B = m 0 J + m 0 ´ 0
∂E
∂t
pour les rotationnels et ∇.E = r/´ 0 , ∇.B = 0 pour les divergences. Deux de
ces quatre équations ont un caractère dynamique et les deux autres ont un statut de
contraintes initiales : les équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère doivent
être considérées comme un problème d’évolution où les deux autres équations sur
les divergences sont des contraintes initiales. En effet, la conservation du nombre
de particules conduit à la conservation de la charge ; complétée par la divergence de
l’équation de Maxwell-Ampère, la conservation de la charge a pour conséquence la
nullité de la dérivée temporelle de l’équation de Maxwell-Gauss.
Équation de conservation de la charge : ∇.J+
∂r
∂t
= 0 →
∂
∂t
∇.E −
r
´ 0
= 0
Ainsi, si l’équation de Maxwell-Gauss est vérifiée à l’instant initial, elle le demeure
aux instants ultérieurs par simple conservation de la charge. De même la divergence
de l’équation de Maxwell-Faraday implique : ∂∇.B/∂t = 0 ; ainsi, si la divergence
du champ magnétique est nulle à l’instant initial, elle le demeure ultérieurement.
Les deux équations de Maxwell sur les divergences possèdent donc le statut de
contraintes initiales sur la structure des champs et les deux équations de MaxwellAmpère et Maxwell-Faraday assurent le maintien de ces contraintes structurelles si
la conservation de la charge est garantie à travers les équations décrivant la dynamique de la matière. L’expression des équations de Maxwell nécessite l’introduction
de deux constantes fondamentales, la permittivité diélectrique du vide : ´ 0 = 8, 85
pF/m et la perméabilité magnétique du vide : m 0 = 1, 26 mH/m ; lorsque l’on
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit