10.5 Chaos
419
En régime chaotique, lorsque le critère de Chirikov est vérifié, l’évolution de la fonction de distribution des actions est donc décrite par une équation de Fokker-Planck :
∂ F 0 (J,t)
∂t
= −
∂
∂J
·
dJ u0
dt
F 0 (J, t) +
1
2
∂
∂J
·
∂
∂J
·
dJdJ u0
dt
F 0 (J, t)
et la relation d’Einstein (10.28) : dJ u0 = ∂ · ·dJdJ u0 /2∂J permet d’établir la
forme finale de l’équation quasi-linéaire :
∂ F 0
∂t
=
∂
∂J
·
dJdJ u0
2dt
·
∂
∂J
F 0
(10.73)
Considérons le cas, étudié précédemment dans le cadre de l’équation de Vlasov, d’un
hamiltonien somme d’une partie intégrable et d’une perturbation non intégrable :
H (J, u) = H 0 (J) + V (J, u)
où la perturbation vérifie l’ordering : V (J, u) H 0 (J).
H (J, u) = H 0 (J) +
N=+∞
N=−∞
V N (J) cos
N·u − Vt + f N
Les équations de Hamilton :
dJ/dt = NV N sin (N·u − Vt + f N ) et du/dt = v,
peuvent être intégrées aux petits temps pour exprimer l’incrément d’action résultant
de la perturbation V : u = vdt + u 0 ,
dJ (J 0 , u 0 , dt) = J (dt) − J 0
= −NV N
cos
(N·v − V) dt + N·u 0 + f N
− cos [N·u 0 + f N ]
N·v − V
Le carré de cet incrément d’action doit être évalué en moyenne sur l’angle initial u 0
(RPA), cet angle initial étant distribué uniformément entre 0 et 2p.
dJdJ u0 = NN
4V
2
N
(N·v − V)
2
sin
2
N·v − V
2
dt
sin
2
N·v − V
2
dt + N·u 0 + f N
u0
L’incrément de temps est ici de nature mésoscopique, c’est-à-dire grand à l’échelle
microscopique et petit à l’échelle macroscopique ; dans ce contexte, microscopique
et macroscopique ne se réfèrent pas à un ordering entre échelles de longueur mais
entre échelles de temps. La limite du facteur de résonance pour ces durées mésoscopiques est donnée par la relation : 2´ sin
2
x/2´
/x
2
→ pd (x). Ainsi, le coefficient
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
419
En régime chaotique, lorsque le critère de Chirikov est vérifié, l’évolution de la fonction de distribution des actions est donc décrite par une équation de Fokker-Planck :
∂ F 0 (J,t)
∂t
= −
∂
∂J
·
dJ u0
dt
F 0 (J, t) +
1
2
∂
∂J
·
∂
∂J
·
dJdJ u0
dt
F 0 (J, t)
et la relation d’Einstein (10.28) : dJ u0 = ∂ · ·dJdJ u0 /2∂J permet d’établir la
forme finale de l’équation quasi-linéaire :
∂ F 0
∂t
=
∂
∂J
·
dJdJ u0
2dt
·
∂
∂J
F 0
(10.73)
Considérons le cas, étudié précédemment dans le cadre de l’équation de Vlasov, d’un
hamiltonien somme d’une partie intégrable et d’une perturbation non intégrable :
H (J, u) = H 0 (J) + V (J, u)
où la perturbation vérifie l’ordering : V (J, u) H 0 (J).
H (J, u) = H 0 (J) +
N=+∞
N=−∞
V N (J) cos
N·u − Vt + f N
Les équations de Hamilton :
dJ/dt = NV N sin (N·u − Vt + f N ) et du/dt = v,
peuvent être intégrées aux petits temps pour exprimer l’incrément d’action résultant
de la perturbation V : u = vdt + u 0 ,
dJ (J 0 , u 0 , dt) = J (dt) − J 0
= −NV N
cos
(N·v − V) dt + N·u 0 + f N
− cos [N·u 0 + f N ]
N·v − V
Le carré de cet incrément d’action doit être évalué en moyenne sur l’angle initial u 0
(RPA), cet angle initial étant distribué uniformément entre 0 et 2p.
dJdJ u0 = NN
4V
2
N
(N·v − V)
2
sin
2
N·v − V
2
dt
sin
2
N·v − V
2
dt + N·u 0 + f N
u0
L’incrément de temps est ici de nature mésoscopique, c’est-à-dire grand à l’échelle
microscopique et petit à l’échelle macroscopique ; dans ce contexte, microscopique
et macroscopique ne se réfèrent pas à un ordering entre échelles de longueur mais
entre échelles de temps. La limite du facteur de résonance pour ces durées mésoscopiques est donnée par la relation : 2´ sin
2
x/2´
/x
2
→ pd (x). Ainsi, le coefficient
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit