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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
perturbation, le premier terme du membre de droite de la relation précédente, et une
perturbation en quadrature de phase avec cette perturbation, le deuxième terme du
membre de droite. La partie en phase décrit les phénomènes de réfraction, si nous
parlons le langage de l’opticien, ou de transfert de puissance réactive, si nous parlons
le langage de l’électronicien ; la partie en quadrature de phase, quant à elle, décrit les
phénomènes d’absorption pour l’opticien, ou de transfert de puissance active pour
l’électronicien.
L’énergie totale, instantanée, stockée par la population de particules sous formes
cinétique et potentielle est donnée par :
(H 0 + V ) (F 0 + f ) dJdu, mais il est plus
pertinent de s’intéresser à l’énergie d’interaction champs-particules et de considérer
l’énergie moyenne d’interaction : u =
V f dJdu (8.18).
u =
1
2
N=+∞
N=−∞
N·
∂ F 0
∂J
V
2
N
N·v−V
dJ
(10.72)
Afin de clarifier le problème de l’absorption (ou émission) il est nécessaire d’établir l’équation d’évolution à un ordre supérieur en V et de considérer que sur une
échelle de temps supérieure à V
−1 la distribution d’équilibre F 0 évolue en fonction
du temps : F 0 (J, t) = F (J, u, t) u . Le choix d’établir une décomposition entre une
partie lente et une partie rapide de la fonction de distribution F, et de considérer que
la partie lente est la moyenne sur les angles, relève de l’hypothèse des phases aléatoires (RPA). En régime chaotique il est légitime de considérer que les angles sont
des variables aléatoires dont la distribution est uniforme entre 0 et 2p ; par contre, la
distribution des actions n’est pas uniforme et son évolution est beaucoup plus lente.
L’équation décrivant cette évolution est appelée équation quasi-linéaire. Pour établir l’équation quasi-linéaire considérons la modification de la distribution F 0 sur un
temps dt.
F 0 (J, t) =
F (J, u 0 ,t) du 0 →
F 0 (J, t + dt) =
d
J −
J
+ dJ
J
, u 0 , dt
F
J
, u 0 ,t
dJ
du 0
où dJ
J
, u 0 , dt
est l’incrément moyen d’action résultant de l’évolution dynamique
durant un temps dt supposé suffisamment petit pour permettre un développement de
Taylor.
d [x − (y + j (y))] ≈ d(x − y) + j(y)·
∂
∂y
d(x − y) +
1
2
j(y)j(y)·
∂
∂y
∂
∂y
d(x − y)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
perturbation, le premier terme du membre de droite de la relation précédente, et une
perturbation en quadrature de phase avec cette perturbation, le deuxième terme du
membre de droite. La partie en phase décrit les phénomènes de réfraction, si nous
parlons le langage de l’opticien, ou de transfert de puissance réactive, si nous parlons
le langage de l’électronicien ; la partie en quadrature de phase, quant à elle, décrit les
phénomènes d’absorption pour l’opticien, ou de transfert de puissance active pour
l’électronicien.
L’énergie totale, instantanée, stockée par la population de particules sous formes
cinétique et potentielle est donnée par :
(H 0 + V ) (F 0 + f ) dJdu, mais il est plus
pertinent de s’intéresser à l’énergie d’interaction champs-particules et de considérer
l’énergie moyenne d’interaction : u =
V f dJdu (8.18).
u =
1
2
N=+∞
N=−∞
N·
∂ F 0
∂J
V
2
N
N·v−V
dJ
(10.72)
Afin de clarifier le problème de l’absorption (ou émission) il est nécessaire d’établir l’équation d’évolution à un ordre supérieur en V et de considérer que sur une
échelle de temps supérieure à V
−1 la distribution d’équilibre F 0 évolue en fonction
du temps : F 0 (J, t) = F (J, u, t) u . Le choix d’établir une décomposition entre une
partie lente et une partie rapide de la fonction de distribution F, et de considérer que
la partie lente est la moyenne sur les angles, relève de l’hypothèse des phases aléatoires (RPA). En régime chaotique il est légitime de considérer que les angles sont
des variables aléatoires dont la distribution est uniforme entre 0 et 2p ; par contre, la
distribution des actions n’est pas uniforme et son évolution est beaucoup plus lente.
L’équation décrivant cette évolution est appelée équation quasi-linéaire. Pour établir l’équation quasi-linéaire considérons la modification de la distribution F 0 sur un
temps dt.
F 0 (J, t) =
F (J, u 0 ,t) du 0 →
F 0 (J, t + dt) =
d
J −
J
+ dJ
J
, u 0 , dt
F
J
, u 0 ,t
dJ
du 0
où dJ
J
, u 0 , dt
est l’incrément moyen d’action résultant de l’évolution dynamique
durant un temps dt supposé suffisamment petit pour permettre un développement de
Taylor.
d [x − (y + j (y))] ≈ d(x − y) + j(y)·
∂
∂y
d(x − y) +
1
2
j(y)j(y)·
∂
∂y
∂
∂y
d(x − y)
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