10.5 Chaos
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à la perturbation réelle :
V =
N=+∞
N=−∞
V N (J) cos
N·u − Vt + f N
(10.71)
La partition du hamiltonien en une partie intégrable plus une perturbation :
H (J, u, t) = H 0 (J) + V (J, u, t) (V (J, u, t) H 0 (J)),
se traduit par par une partition de la solution en une solution d’équilibre plus une
perturbation : F (J, u, t) = F 0 (J) + f (J, u, t), (F 0 (J) f (J, u, t)). La solution
d’équilibre vérifiant :
∂ H 0
∂J
·
∂ F 0
∂u
−
∂ H 0
∂u
·
∂ F 0
∂J
= 0
La perturbation de la fonction de distribution, au premier ordre en V , est donc solution de l’équation :
∂ f
∂t
+ v (J) ·
∂ f
∂u
−
∂V
∂u
·
∂ F 0
∂J
= 0
Les termes d’ordres supérieurs en V ayant été ainsi négligés nous avons donc procédé
à une linéarisation de l’équation de Vlasov.
Recherchons une solution de l’équation de Vlasov ainsi linéarisée sous forme d’une
série de Fourier similaire à (10.70) où les coefficients f N des différentes harmoniques constituent les inconnues f ∼
f N exp ±i
N·u − (V ± i´) t + f N
. Ces
inconnues vérifient une équation algébrique obtenue par substitution dans l’équation
précédente ; puis, par identification terme à terme des deux séries (V et f ) la solution
de l’équation de Vlasov linéarisée est obtenue.
f (J, u, t) =
N=+∞
N=−∞
N·
∂ F0
∂J V N
2
N·v−V − i´
exp i
N·u − (V + i´) t + f N
+
N=+∞
N=−∞
N·
∂ F0
∂J V N
2
N·v−V + i´
exp −i
N·u − (V − i´) t + f N
La prescription de causalité ´ → 0
+ peut finalement être exprimée compte tenu de la
relation : 1/ (x ± i´) → P
1/x
∓ ipd (x).
f =
N=+∞
N=−∞
N·
∂ F0
∂J
N·v−V
V N cos
N·u − Vt + f N
− pN·
∂ F 0
∂J
d
N·v−V
V N sin
N·u − Vt + f N
Ainsi, un hamiltonien perturbateur du type (10.71) induit une perturbation de la fonction de distribution présentant deux composantes : une composante en phase avec la
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