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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
Le hamiltonien à une particule H (J, u, t) = H 0 (J) + V (J, u, t) est constitué de
deux composantes, le hamiltonien intégrable H 0 (J) dû aux champs extérieurs, et
le hamiltonien V (J, u, t) décrivant les interactions entre les particules à travers un
champ moyen collectif solution des équations de Maxwell macroscopiques.
F(J,θ,t)
F(J,θ,t+δt)
δ J ( δ t ) , δ θ ( δ t )
δt
J
θ
Figure 10.24 Évolution dynamique dans l’espace des phases pour une particule.
Contrairement à l’équation de Liouville, l’équation de Vlasov est non-linéaire, car
V est une fonctionnelle de F ; en effet, les charges et courants sources des équations de Maxwell qui déterminent V sont des intégrales sur F dans l’espace des
phases. Néanmoins, durant cette étude, nous considèrerons V donné. Nous allons
résoudre l’équation de Vlasov dans le cadre d’un schéma perturbatif, sous l’hypothèse de dominance des champs extérieurs par rapport aux champs collectifs (qui est
la condition de contrôle du confinement d’un plasma) : V (J, u, t) H 0 (J).
Considérons V comme une perturbation harmonique de pulsation V dont l’amplitude
a crû de façon adiabatique dans le passé jusqu’a sa valeur présente (V (J, u,t) → 0
lorsque t → −∞), cette dernière condition traduit l’hypothèse de causalité. Décomposons cette perturbation en série de Fourier sur les angles u du système anglesactions associé à la partie intégrable H 0 .
V (J, u,t) =
N=+∞
N=−∞
V N (J)
2
exp i
N·u − (V + i´) t + f N
+ exp −i
N·u − (V − i´) t + f N
(10.70)
Le terme i ´ permet de traduire l’hypothèse de causalité dans ce développement et, à
la fin du calcul, la limite ´ → 0
+ doit être prise pour établir ainsi la solution associée
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
Le hamiltonien à une particule H (J, u, t) = H 0 (J) + V (J, u, t) est constitué de
deux composantes, le hamiltonien intégrable H 0 (J) dû aux champs extérieurs, et
le hamiltonien V (J, u, t) décrivant les interactions entre les particules à travers un
champ moyen collectif solution des équations de Maxwell macroscopiques.
F(J,θ,t)
F(J,θ,t+δt)
δ J ( δ t ) , δ θ ( δ t )
δt
J
θ
Figure 10.24 Évolution dynamique dans l’espace des phases pour une particule.
Contrairement à l’équation de Liouville, l’équation de Vlasov est non-linéaire, car
V est une fonctionnelle de F ; en effet, les charges et courants sources des équations de Maxwell qui déterminent V sont des intégrales sur F dans l’espace des
phases. Néanmoins, durant cette étude, nous considèrerons V donné. Nous allons
résoudre l’équation de Vlasov dans le cadre d’un schéma perturbatif, sous l’hypothèse de dominance des champs extérieurs par rapport aux champs collectifs (qui est
la condition de contrôle du confinement d’un plasma) : V (J, u, t) H 0 (J).
Considérons V comme une perturbation harmonique de pulsation V dont l’amplitude
a crû de façon adiabatique dans le passé jusqu’a sa valeur présente (V (J, u,t) → 0
lorsque t → −∞), cette dernière condition traduit l’hypothèse de causalité. Décomposons cette perturbation en série de Fourier sur les angles u du système anglesactions associé à la partie intégrable H 0 .
V (J, u,t) =
N=+∞
N=−∞
V N (J)
2
exp i
N·u − (V + i´) t + f N
+ exp −i
N·u − (V − i´) t + f N
(10.70)
Le terme i ´ permet de traduire l’hypothèse de causalité dans ce développement et, à
la fin du calcul, la limite ´ → 0
+ doit être prise pour établir ainsi la solution associée
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit