10.5 Chaos
415
la fonction de distribution F vérifie dF/dt = 0, c’est-à-dire :
∂F
∂t
+
i
∂H
∂J i
·
∂F
∂u i
−
∂H
∂u i
·
∂F
∂J i
= 0
cette dernière identité constitue l’équation de Liouville où H (J 1 , u 1 , J 2 , u 2 ...t) est le
hamiltonien à N particules. La solution formelle de cette équation linéaire est donnée
par :
F (t) = exp
i
∂H
∂u i
·
∂
∂J i
−
∂H
∂J i
·
∂
∂u i
t
·F (t = 0)
Cette solution est utile pour établir un certain nombre de propriétés générales telles
que les relations fluctuations-dissipation ; mais, suivant la discussion sur l’ordering
de Bogolioubov (2.4), au delà de l’échelle précinétique, l’information contenue dans
la description statistique F est irrelevante et la fonction de distribution à un corps
F (J, u, t) est suffisante pour l’étude des processus cinétiques. Considérons donc
F (J, u, t) dJdu la probabilité, à un instant t, de trouver une particule dans le volume
dJdu au voisinage de (J, u) ; F (J, u, t) est la densité de probabilité à un corps.
L’équation d’évolution dynamique de cette fonction de distribution F peut être établie en partant de l’identité (Figure 10.24) :
F (J, u, t + dt) =
d
J − J
− dJ
J
, u
, dt
d
u − u
− du
J
, u
, dt
×F
J
, u
, t
dJ
du
où dJ
J
, u
, dt
et du
J
, u
, dt
sont les incréments d’action et d’angle durant le
temps dt ; ces incréments sont solutions des équations de Hamilton pour une particule. La durée dt est supposée suffisamment petite pour permettre un développement
de Taylor suivant dJ
J
, u
, dt
et du
J
, u
, dt
,
d [x − (y + j (y))] ≈ d(x − y) − j(y)·
∂
∂x
d(x − y) = d(x − y) + j(y)·
∂
∂y
d(x − y)
ainsi la variation de la fonction de distribution : dF (J, u, t) = F (J, u, t + dt)−F (J, u, t)
peut être évaluée en procédant à une intégration par parties sous le signe somme.
dF (J, u, t)
dt
= −
∂
∂J
·
dJ (J, u, dt)
dt
F (J, u, t) −
∂
∂u
·
du (J, u, dt)
dt
F (J, u, t)
Compte tenu des équation de Hamilton, l’équation de Vlasov, décrivant l’évolution
de la fonction de distribution à un corps F est donc donnée par :
∂ F
∂t
+
∂ H
∂J
·
∂ F
∂u
−
∂ H
∂u
·
∂ F
∂J
= 0
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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la fonction de distribution F vérifie dF/dt = 0, c’est-à-dire :
∂F
∂t
+
i
∂H
∂J i
·
∂F
∂u i
−
∂H
∂u i
·
∂F
∂J i
= 0
cette dernière identité constitue l’équation de Liouville où H (J 1 , u 1 , J 2 , u 2 ...t) est le
hamiltonien à N particules. La solution formelle de cette équation linéaire est donnée
par :
F (t) = exp
i
∂H
∂u i
·
∂
∂J i
−
∂H
∂J i
·
∂
∂u i
t
·F (t = 0)
Cette solution est utile pour établir un certain nombre de propriétés générales telles
que les relations fluctuations-dissipation ; mais, suivant la discussion sur l’ordering
de Bogolioubov (2.4), au delà de l’échelle précinétique, l’information contenue dans
la description statistique F est irrelevante et la fonction de distribution à un corps
F (J, u, t) est suffisante pour l’étude des processus cinétiques. Considérons donc
F (J, u, t) dJdu la probabilité, à un instant t, de trouver une particule dans le volume
dJdu au voisinage de (J, u) ; F (J, u, t) est la densité de probabilité à un corps.
L’équation d’évolution dynamique de cette fonction de distribution F peut être établie en partant de l’identité (Figure 10.24) :
F (J, u, t + dt) =
d
J − J
− dJ
J
, u
, dt
d
u − u
− du
J
, u
, dt
×F
J
, u
, t
dJ
du
où dJ
J
, u
, dt
et du
J
, u
, dt
sont les incréments d’action et d’angle durant le
temps dt ; ces incréments sont solutions des équations de Hamilton pour une particule. La durée dt est supposée suffisamment petite pour permettre un développement
de Taylor suivant dJ
J
, u
, dt
et du
J
, u
, dt
,
d [x − (y + j (y))] ≈ d(x − y) − j(y)·
∂
∂x
d(x − y) = d(x − y) + j(y)·
∂
∂y
d(x − y)
ainsi la variation de la fonction de distribution : dF (J, u, t) = F (J, u, t + dt)−F (J, u, t)
peut être évaluée en procédant à une intégration par parties sous le signe somme.
dF (J, u, t)
dt
= −
∂
∂J
·
dJ (J, u, dt)
dt
F (J, u, t) −
∂
∂u
·
du (J, u, dt)
dt
F (J, u, t)
Compte tenu des équation de Hamilton, l’équation de Vlasov, décrivant l’évolution
de la fonction de distribution à un corps F est donc donnée par :
∂ F
∂t
+
∂ H
∂J
·
∂ F
∂u
−
∂ H
∂u
·
∂ F
∂J
= 0
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit