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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
Lorsque l’amplitude des perturbations V nm augmente à partir d’une situation intégrable V nm = 0, le passage du régime adiabatique au régime globalement chaotique
verra la destruction de ces tores nobles après la destruction des tores rationnels résonnants et de leur voisins immédiats. L’étude détaillée de cette hiérarchie entre tores
résonnants, adiabatiques et nobles permet d’affiner le critère de Chirikov et, pour la
récurrence de Chirikov-Taylor (10.67), une méthode de renormalisation prédit une
transition vers le chaos pour V = 0, 971635... en accord avec l’estimation V ∼ 1.
Notons que dans les systèmes physiques réels (tels que les plasmas) l’existence de
bruits, associés à des couplages faibles avec la multitude des degrés de liberté extérieurs, permet de se contenter du critère S ∼ 1. L’observation expérimentale de la
transition : intégrable → adiabatique-résonnant → chaotique, dans les expérience
d’interaction champs-particules, confirme la validité du critère de Chirikov S ∼ 1 au
seuil du régime chaotique.
En régime chaotique les deux variables angles et actions doivent être traitées comme
des variables aléatoires et la dynamique doit être considérée comme un processus
Markovien. La variable d’angle est une variable rapide extrêmement sensible aux
perturbations, il est alors justifié de construire l’approximation des phases aléatoires
et de considérer ces variables d’angles comme des variables aléatoires dont la distribution est uniforme entre 0 et 2p. Cette approximation a reçu le nom de RPA (Random Phase Approximation) et constitue une approximation transverse à de nombreux
domaines de la physique au delà de la physique des plasmas. Les variables d’actions
sont aussi des variables aléatoires markoviennes mais leur évolution est plus lente et
sa description nécessite la construction d’une équation cinétique : l’équation quasilinéaire.
10.5.3 Équation quasi-linéaire
Dans un plasma, le nombre de particules est très grand : le nombre d’Avogadro
N A = 6, 02×10
23 ou le nombre de Loschmidt N L = 2, 69×10
19 (2.19) donnent
une mesure de l’ordre de grandeur du nombre de degrés de liberté à considérer pour
quelques m
3 d’un plasma de laboratoire typique.
Une description statistique de l’espace des phases pour N particules est nécessaire
pour décrire un tel nombre de degrés de liberté. Introduisons F (J 1 , u 1 , J 2 , u 2 ...t)
dJ 1 du 1 dJ 2 du 2 ... la probabilité, à un instant t, de trouver la particule 1 dans le
volume dJ 1 du 1 , au voisinage de (J 1 , u 1 ), de trouver la particule 2 dans le volume
dJ 2 du 2 , au voisinage de (J 2 , u 2 )... F (J 1 , u 1 , J 2 , u 2 ...t) est la densité de probabilité
dans l’espace des phases (J 1 , u 1 , J 2 , u 2 ...) de l’ensemble des particules. L’équation
d’évolution dynamique de cette fonction de distribution F peut être établie en partant de l’invariant de Liouville-Poincaré. L’invariance de l’élément de volume d’espace des phases dJ 1 du 1 dJ 2 du 2 ... (10.16) et l’invariance du nombre de particules :
d [F (J 1 , u 1 , J 2 , u 2 ...t) dJ 1 du 1 dJ 2 du 2 ...] /dt = 0 ne peuvent être satisfaites que si
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
Lorsque l’amplitude des perturbations V nm augmente à partir d’une situation intégrable V nm = 0, le passage du régime adiabatique au régime globalement chaotique
verra la destruction de ces tores nobles après la destruction des tores rationnels résonnants et de leur voisins immédiats. L’étude détaillée de cette hiérarchie entre tores
résonnants, adiabatiques et nobles permet d’affiner le critère de Chirikov et, pour la
récurrence de Chirikov-Taylor (10.67), une méthode de renormalisation prédit une
transition vers le chaos pour V = 0, 971635... en accord avec l’estimation V ∼ 1.
Notons que dans les systèmes physiques réels (tels que les plasmas) l’existence de
bruits, associés à des couplages faibles avec la multitude des degrés de liberté extérieurs, permet de se contenter du critère S ∼ 1. L’observation expérimentale de la
transition : intégrable → adiabatique-résonnant → chaotique, dans les expérience
d’interaction champs-particules, confirme la validité du critère de Chirikov S ∼ 1 au
seuil du régime chaotique.
En régime chaotique les deux variables angles et actions doivent être traitées comme
des variables aléatoires et la dynamique doit être considérée comme un processus
Markovien. La variable d’angle est une variable rapide extrêmement sensible aux
perturbations, il est alors justifié de construire l’approximation des phases aléatoires
et de considérer ces variables d’angles comme des variables aléatoires dont la distribution est uniforme entre 0 et 2p. Cette approximation a reçu le nom de RPA (Random Phase Approximation) et constitue une approximation transverse à de nombreux
domaines de la physique au delà de la physique des plasmas. Les variables d’actions
sont aussi des variables aléatoires markoviennes mais leur évolution est plus lente et
sa description nécessite la construction d’une équation cinétique : l’équation quasilinéaire.
10.5.3 Équation quasi-linéaire
Dans un plasma, le nombre de particules est très grand : le nombre d’Avogadro
N A = 6, 02×10
23 ou le nombre de Loschmidt N L = 2, 69×10
19 (2.19) donnent
une mesure de l’ordre de grandeur du nombre de degrés de liberté à considérer pour
quelques m
3 d’un plasma de laboratoire typique.
Une description statistique de l’espace des phases pour N particules est nécessaire
pour décrire un tel nombre de degrés de liberté. Introduisons F (J 1 , u 1 , J 2 , u 2 ...t)
dJ 1 du 1 dJ 2 du 2 ... la probabilité, à un instant t, de trouver la particule 1 dans le
volume dJ 1 du 1 , au voisinage de (J 1 , u 1 ), de trouver la particule 2 dans le volume
dJ 2 du 2 , au voisinage de (J 2 , u 2 )... F (J 1 , u 1 , J 2 , u 2 ...t) est la densité de probabilité
dans l’espace des phases (J 1 , u 1 , J 2 , u 2 ...) de l’ensemble des particules. L’équation
d’évolution dynamique de cette fonction de distribution F peut être établie en partant de l’invariant de Liouville-Poincaré. L’invariance de l’élément de volume d’espace des phases dJ 1 du 1 dJ 2 du 2 ... (10.16) et l’invariance du nombre de particules :
d [F (J 1 , u 1 , J 2 , u 2 ...t) dJ 1 du 1 dJ 2 du 2 ...] /dt = 0 ne peuvent être satisfaites que si
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit