10.5 Chaos
413
introduisons x 2 = 1/a 2 et considérons a 3 la partie entière.... On construit ainsi un
développement en fraction continue :
a = a 0 +
1
a 1 +
1
a2+
1
a 3 +...
(10.69)
Si ce développement est fini, alors a est un rationnel ; dans le cas contraire, a est
un irrationnel. L’algorithme de développement peut être interrompu à un ordre fini n
pour obtenir une approximation rationnelle appelée la réduite de la fraction continue P n /Q n .
a 0 +
1
a 1
=
P 1
Q 1
, a 0 +
1
a 1 +
1
a2
=
P 2
Q 2
, a 0 +
1
a 1 +
1
a2+
1
a 3
=
P 3
Q 3
L’algorithme de définition et de construction permet d’établir la relation de récurrence des numérateurs et dénominateurs de la réduite d’ordre n : P n = a n P n−1 + P n−2
et Q n = a n Q n−1 + Q n−2 . L’écart entre deux réduites successives est donc donné
par : P n /Q n − P n−1 /Q n−1 = (−1)
n−1
/Q n Q n−1 . Ce dernier résultat permet une
majoration de l’erreur commise lors de l’approximation par une réduite d’ordre n ;
les réduites d’ordre pair forment une suite croissante qui converge vers a par valeurs
inférieures et les réduites d’ordre impair une suite décroissante qui converge vers a
par valeurs supérieures telles que :|P n /Q n − a| < 1/Q
2
n . Les réduites ne sont pas
les seuls rationnels possédant cette propriété. Un théorème, dû à Hurwitz, confirme
cette non-unicité et précise la majoration de l’erreur : quel que soit un irrationnel
a il existe une infinité de couple d’entier (P, Q) tels que
P/Q
− a
< 1/
√
5Q
2
et la constante de majoration de l’erreur 1/
√
5 ne peut pas être améliorée pour
a =
√
5 + 1
/2. On trouvera une démonstration claire et directe de ce résultat
dans le célèbre traité de C. L. Siegel : Geometry of Numbers. On voit donc que la
vitesse de convergence est d’autant plus rapide que la série des dénominateurs Q n
diverge rapidement. En particulier, le nombre d’or, qui sature la majoration du théorème de Hurwitz, ainsi que son inverse et tous les irrationnel tels qu’à partir d’un
certain rang la fraction continue ne contienne que des 1 :
√
5 + 1
2
= 1 +
1
1 +
1
1+
1
1+...
,
√
5 − 1
2
=
1
1 +
1
1+
1
1+...
, ...
constituent une classe d’irrationnels dont l’approximation par réduites rationnelles
présentera une convergence des plus lentes. Formulé plus prosaïquement, le nombre
d’or et la classe décrite précédemment sont les nombres les plus éloignés des rationnels. Les tores irrationnels, dits tores nobles, ainsi définis :
2v J (I , J ) =
√
5 + 1
v I (I , J ) , 2v J (I , J ) =
√
5 − 1v I (I , J )
, ...
sont très éloignés d’une résonance, donc sont les plus robustes aux perturbations.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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introduisons x 2 = 1/a 2 et considérons a 3 la partie entière.... On construit ainsi un
développement en fraction continue :
a = a 0 +
1
a 1 +
1
a2+
1
a 3 +...
(10.69)
Si ce développement est fini, alors a est un rationnel ; dans le cas contraire, a est
un irrationnel. L’algorithme de développement peut être interrompu à un ordre fini n
pour obtenir une approximation rationnelle appelée la réduite de la fraction continue P n /Q n .
a 0 +
1
a 1
=
P 1
Q 1
, a 0 +
1
a 1 +
1
a2
=
P 2
Q 2
, a 0 +
1
a 1 +
1
a2+
1
a 3
=
P 3
Q 3
L’algorithme de définition et de construction permet d’établir la relation de récurrence des numérateurs et dénominateurs de la réduite d’ordre n : P n = a n P n−1 + P n−2
et Q n = a n Q n−1 + Q n−2 . L’écart entre deux réduites successives est donc donné
par : P n /Q n − P n−1 /Q n−1 = (−1)
n−1
/Q n Q n−1 . Ce dernier résultat permet une
majoration de l’erreur commise lors de l’approximation par une réduite d’ordre n ;
les réduites d’ordre pair forment une suite croissante qui converge vers a par valeurs
inférieures et les réduites d’ordre impair une suite décroissante qui converge vers a
par valeurs supérieures telles que :|P n /Q n − a| < 1/Q
2
n . Les réduites ne sont pas
les seuls rationnels possédant cette propriété. Un théorème, dû à Hurwitz, confirme
cette non-unicité et précise la majoration de l’erreur : quel que soit un irrationnel
a il existe une infinité de couple d’entier (P, Q) tels que
P/Q
− a
< 1/
√
5Q
2
et la constante de majoration de l’erreur 1/
√
5 ne peut pas être améliorée pour
a =
√
5 + 1
/2. On trouvera une démonstration claire et directe de ce résultat
dans le célèbre traité de C. L. Siegel : Geometry of Numbers. On voit donc que la
vitesse de convergence est d’autant plus rapide que la série des dénominateurs Q n
diverge rapidement. En particulier, le nombre d’or, qui sature la majoration du théorème de Hurwitz, ainsi que son inverse et tous les irrationnel tels qu’à partir d’un
certain rang la fraction continue ne contienne que des 1 :
√
5 + 1
2
= 1 +
1
1 +
1
1+
1
1+...
,
√
5 − 1
2
=
1
1 +
1
1+
1
1+...
, ...
constituent une classe d’irrationnels dont l’approximation par réduites rationnelles
présentera une convergence des plus lentes. Formulé plus prosaïquement, le nombre
d’or et la classe décrite précédemment sont les nombres les plus éloignés des rationnels. Les tores irrationnels, dits tores nobles, ainsi définis :
2v J (I , J ) =
√
5 + 1
v I (I , J ) , 2v J (I , J ) =
√
5 − 1v I (I , J )
, ...
sont très éloignés d’une résonance, donc sont les plus robustes aux perturbations.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit