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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
alors, les tores résonnants nv I (I , J ) + mv J (I , J ) = 0 sont détruits et développent
des domaines piégés. Entre ces tores, si V n,m (I , J ) 1, persiste un régime adiabatique sur les tores non-résonnants. La figure 10.23 illustre dans l’espace des actions
(I , J ) l’organisation des tores rationnels (résonnants) et irrationnels (adiabatiques),
la persistance de l’adiabaticité entre les tores résonnants est l’objet du célèbre théorème KAM que nous n’étudierons pas ici.
Pour une courbe de résonance donnée (en gris sur la figure 10.23), plusieurs couples
d’entiers (n, m) peuvent satisfaire la même relation nv I (I , J ) + mv J (I , J ) = 0,
cette dégénérescence peut être étudiée en considérant la probabilité p pour que deux
entiers n et m soient premiers entre eux, c’est-à-dire que leur p.g.c.d. soit égal à 1.
Soit p k la probabilité pour que p.g.c.d(n, m) = k ; pour que cet événement soit réalisé
il faut que : (i) n soit un multiple de k, (ii) que m soit aussi un multiple de k (ces deux
événements ont une probabilité 1/k et 1/k) et (iii) que n/k et m/k soient premiers
entre eux (la probabilité de cet évenement est donnée par p) ; on a donc p k = p/k
2
et comme
k
p k = 1 et
k
k
−2
= p
2
/6, on établie ainsi le résultat classique :
p = 0, 3256984....
En fait, la réductibilité des fractions n/m = n
/m
et la superposition des résonances
V nm et V n m n’est pas le problème central de l’analyse des résonances au seuil de
la transition vers le chaos ; le problème crucial est celui de la représentation des
irrationnels v I (I , J ) /v J (I , J ) définissant les tores adiabatiques.
Bien qu’elle possède un certain nombre de vertus pratiques pour les calculs usuels, la
représentation décimale ne constitue pas la meilleure représentation pour les irrationnels car elle est inadaptée à l’étude de la convergence. Par exemple, la série décimale
classique p = 3, 14159265....
p = 3+
1
10
+
4
100
+
1
1000
+
5
10000
+
9
100000
+ ... → p =
3
1
,
31
10
,
314
100
,
3142
1000
, ...
p n
q n
, ...
présente une vitesse de convergence médiocre et la représentation par fraction continue :
p = 3 +
1
7 +
1
15+
1
292+...
→ p =
3
1
,
22
7
,
333
106
,
355
113
, ...
P n
Q n
, ...
possède des propriétés de convergence supérieures ; au sens où la majoration
de l’erreur à un certain ordre est plus serrée : 355/113 = 3.1415929 est une
meilleure approximation de p que 3142/1000 = 3.142. Il est aisé de voir que pour
la représentation décimale l’erreur à l’ordre n est simplement majorée par 1/q n :
|p − p n /q n | < 1/q n ; alors que pour la représentation en fraction continue nous
allons démontrer que |p − P n /Q n | < 1/Q
2
n .
Soit un nombre a, non entier, soit a 0 sa partie entière telle que a = a 0 + a 0 ; introduisons x 0 = 1/a 0 et considérons a 1 la partie entière de x 0 telle que x 0 = a 1 + a 1 ; introduisons x 1 = 1/a 1 et considérons a 2 la partie entière de x 1 telle que x 1 = a 2 + a 2 ;
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
alors, les tores résonnants nv I (I , J ) + mv J (I , J ) = 0 sont détruits et développent
des domaines piégés. Entre ces tores, si V n,m (I , J ) 1, persiste un régime adiabatique sur les tores non-résonnants. La figure 10.23 illustre dans l’espace des actions
(I , J ) l’organisation des tores rationnels (résonnants) et irrationnels (adiabatiques),
la persistance de l’adiabaticité entre les tores résonnants est l’objet du célèbre théorème KAM que nous n’étudierons pas ici.
Pour une courbe de résonance donnée (en gris sur la figure 10.23), plusieurs couples
d’entiers (n, m) peuvent satisfaire la même relation nv I (I , J ) + mv J (I , J ) = 0,
cette dégénérescence peut être étudiée en considérant la probabilité p pour que deux
entiers n et m soient premiers entre eux, c’est-à-dire que leur p.g.c.d. soit égal à 1.
Soit p k la probabilité pour que p.g.c.d(n, m) = k ; pour que cet événement soit réalisé
il faut que : (i) n soit un multiple de k, (ii) que m soit aussi un multiple de k (ces deux
événements ont une probabilité 1/k et 1/k) et (iii) que n/k et m/k soient premiers
entre eux (la probabilité de cet évenement est donnée par p) ; on a donc p k = p/k
2
et comme
k
p k = 1 et
k
k
−2
= p
2
/6, on établie ainsi le résultat classique :
p = 0, 3256984....
En fait, la réductibilité des fractions n/m = n
/m
et la superposition des résonances
V nm et V n m n’est pas le problème central de l’analyse des résonances au seuil de
la transition vers le chaos ; le problème crucial est celui de la représentation des
irrationnels v I (I , J ) /v J (I , J ) définissant les tores adiabatiques.
Bien qu’elle possède un certain nombre de vertus pratiques pour les calculs usuels, la
représentation décimale ne constitue pas la meilleure représentation pour les irrationnels car elle est inadaptée à l’étude de la convergence. Par exemple, la série décimale
classique p = 3, 14159265....
p = 3+
1
10
+
4
100
+
1
1000
+
5
10000
+
9
100000
+ ... → p =
3
1
,
31
10
,
314
100
,
3142
1000
, ...
p n
q n
, ...
présente une vitesse de convergence médiocre et la représentation par fraction continue :
p = 3 +
1
7 +
1
15+
1
292+...
→ p =
3
1
,
22
7
,
333
106
,
355
113
, ...
P n
Q n
, ...
possède des propriétés de convergence supérieures ; au sens où la majoration
de l’erreur à un certain ordre est plus serrée : 355/113 = 3.1415929 est une
meilleure approximation de p que 3142/1000 = 3.142. Il est aisé de voir que pour
la représentation décimale l’erreur à l’ordre n est simplement majorée par 1/q n :
|p − p n /q n | < 1/q n ; alors que pour la représentation en fraction continue nous
allons démontrer que |p − P n /Q n | < 1/Q
2
n .
Soit un nombre a, non entier, soit a 0 sa partie entière telle que a = a 0 + a 0 ; introduisons x 0 = 1/a 0 et considérons a 1 la partie entière de x 0 telle que x 0 = a 1 + a 1 ; introduisons x 1 = 1/a 1 et considérons a 2 la partie entière de x 1 telle que x 1 = a 2 + a 2 ;
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit