10.5 Chaos
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S = 1 et analyser la brisure d’adiabaticité, c’est-à-dire la destruction des tores de
KAM par la composante non intégrable d’un hamiltonien voisin d’un hamiltonien
intégrable.
C’est la distance entre les tores résonnants et la largeur des domaines piégées qui
déterminent la nature du régime dynamique : régulier ou chaotique ; il est donc
nécessaire d’étudier la distribution des tores résonnants dans l’espace des phases
pour construire une description de la transition vers le chaos. Considérons un système non-linéaire intégrable, indépendant du temps, à deux degrés de liberté, décrit
par le hamiltonien :
H = H 0 (I , J ) → v I (I , J ) =
∂ H 0
∂ I
, v J (I , J ) =
∂ H 0
∂ J
La figure 10.23 représente des tores de KAM structurant l’espace des phases (réduit)
de ce système ; suivant la définition de l’intégrabilité au sens de Poincaré, les orbites
s’appuient sur une famille de tores emboîtés. Il existe deux types de tores :
• les tores rationnels (résonnants) tels que le rapport des pulsation
v I (I , J )
v J (I , J )
soit un
nombre rationnel
m
n
où m et n sont deux entiers : sur ces tores les orbites sont
fermées et la particule effectue m grands tours et n petits tours,
• les tores irrationnels (adiabatiques) tels que le rapport des pulsations
v I (I , J )
v J (I , J )
ne
soit pas un rationnel : sur ces tores les orbites ne sont pas fermées et une orbite
couvre la surface du tore de façon ergodique.
H 0 ( I , J )
I
J
I*
I*
ϕ∗
ϕ∗
Tores adiabatiques
Tores résonnants
Tores de KAM
Figure 10.23 Tores de KAM, tores irrationnels adiabatiques et tores rationnels résonnants.
Perturbons ce système intégrable par une faible perturbation indépendante du temps :
H = H 0 (I , J ) +
n=+∞
n=1
m=+∞
m=1
V nm (I , J ) cos [nu + mf]
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