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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
Sur la base de cette évaluation on peut donc s’attendre à une transition vers le chaos
au voisinage de V = 1 car le système dynamique amplifie alors toute erreur initiale
avec un taux exponentiel. Bien entendu, il nous faudrait définir plus précisément la
signification de cette perte d’information, nous renvoyons le lecteur aux traités de
dynamique chaotique conseillés dans les lectures complémentaires. Cette transition
vers le chaos, que nous considérons uniquement comme l’apparence visuelle d’un
désordre dans l’espace des phases (Figure 10.22) sans donner une définition précise,
est effectivement observée numériquement ; la figure 10.22 présente l’allure du portrait de phases au voisinage de ce seuil chaotique.
V = 1,00
V = 1,25
J
J
θ
θ
Figure 10.22 Récurrence de Chirikov-Taylor au seuil du régime chaotique V = 1, 00 et V = 1, 25.
Si nous calculons le paramètre de Chirikov S (10.65) pour le hamiltonien de
Chirikov-Taylor (10.66) nous obtenons S ≈ V ; au-delà de cet exemple spécifique,
de nombreuse simulations numériques pour de multiples hamiltoniens confirment
l’existence d’une transition vers le régime chaotique lorsque :
S =
|DJ 1 | + |DJ 2 |
2 |J 2 − J 1 |
1
(10.68)
Ce résultat S 1, que nous considérons désormais comme un critère général, répond
à la question que nous nous étions posée sur l’interaction de deux résonances voisines
lorsque V N 1 ≈ V N 2 et S ≈ 1 ; il constitue : le critère de Chirikov de transition vers
le chaos.
10.5.2 Transition vers le chaos
Dans le paragraphe précédent, nous avons considéré qu’au delà du seuil de stochasticité S = 1 les orbites sont chaotiques, sans définir précisément cette propriété. Nous
allons maintenant affiner la description de l’espace des phases au voisinage du seuil
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
Sur la base de cette évaluation on peut donc s’attendre à une transition vers le chaos
au voisinage de V = 1 car le système dynamique amplifie alors toute erreur initiale
avec un taux exponentiel. Bien entendu, il nous faudrait définir plus précisément la
signification de cette perte d’information, nous renvoyons le lecteur aux traités de
dynamique chaotique conseillés dans les lectures complémentaires. Cette transition
vers le chaos, que nous considérons uniquement comme l’apparence visuelle d’un
désordre dans l’espace des phases (Figure 10.22) sans donner une définition précise,
est effectivement observée numériquement ; la figure 10.22 présente l’allure du portrait de phases au voisinage de ce seuil chaotique.
V = 1,00
V = 1,25
J
J
θ
θ
Figure 10.22 Récurrence de Chirikov-Taylor au seuil du régime chaotique V = 1, 00 et V = 1, 25.
Si nous calculons le paramètre de Chirikov S (10.65) pour le hamiltonien de
Chirikov-Taylor (10.66) nous obtenons S ≈ V ; au-delà de cet exemple spécifique,
de nombreuse simulations numériques pour de multiples hamiltoniens confirment
l’existence d’une transition vers le régime chaotique lorsque :
S =
|DJ 1 | + |DJ 2 |
2 |J 2 − J 1 |
1
(10.68)
Ce résultat S 1, que nous considérons désormais comme un critère général, répond
à la question que nous nous étions posée sur l’interaction de deux résonances voisines
lorsque V N 1 ≈ V N 2 et S ≈ 1 ; il constitue : le critère de Chirikov de transition vers
le chaos.
10.5.2 Transition vers le chaos
Dans le paragraphe précédent, nous avons considéré qu’au delà du seuil de stochasticité S = 1 les orbites sont chaotiques, sans définir précisément cette propriété. Nous
allons maintenant affiner la description de l’espace des phases au voisinage du seuil
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit