10.5 Chaos
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L’interaction apparaît ainsi très localisée dans le temps et les actions restent
constantes entre les instants t = n et t = n + 1. Les équations du mouvement
peuvent donc être remplacées par une récurrence sur la série discrète des valeurs
J n = J (t = n) et u n = u (t = n).
J n+1 = J n + V sin u n
u n+1 = u n + J n+1 (modulo 2p)
(10.67)
Nous venons ainsi de construire la récurrence de Chirikov-Taylor. Cette récurrence
est le modèle de base de la théorie du chaos hamiltonien car elle présente une transition, selon la valeur du paramètre de couplage V , du régime adiabatique vers le
régime chaotique.
Pour les petites valeurs de V , les variations de l’action sont petites et le régime de
couplage est adiabatique. Les orbites s’organisent comme un ensemble de courbes
J
2
≈ −2V cos u + C, définissant ainsi les tores de KAM.
V < 1 →
d J
du
≈
J n+1 − J n
u n+1 − u n
=
V sin u n
J n+1
≈
V sin u
J
→ J
2
≈ −2V cos u + C
C’est effectivement ce qui est observé numériquement sur la figure 10.21 qui présente
l’allure du portrait de phases de cette récurrence pour un ensemble homogène de
conditions initiales.
V = 0,25
J
θ
θ
J
V = 0,50
Figure 10.21 Récurrence de Chirikov-Taylor en régime adiabatique, V = 0, 25 et V = 0, 50.
Par contre, pour les grandes valeurs de V , une petite différence sur la position initiale
de l’angle est exponentiellement amplifiée par la récurrence.
V > 1 → |(u n+1 − u n ) − (u n − u n−1 )| ≈ ´V →
(u n+1 − u n )
(u 1 − u 0 )
≈ exp (n log ´V )
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