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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
ou V N 1 V N 2 . Il est alors légitime de négliger la plus faible des résonances. Mais,
si V N 1 ≈ V N 2 et S ≈ 1, le problème doit être analysé en détail.
J 1
H
0 ( J )
N2 .ω (J ) = 0
N 1 .ω(J) = 0
I
ϕ
ΔJ 1
J 2
J
ΔJ 2
Figure 10.20 Interaction entre deux résonances voisines.
Il n’existe pas d’outil analytique pour étudier le hamiltonien à deux ondes (10.64)
lorsque V N 1 ≈ V N 2 et S ≈ 1 ; la réponse à la question précédente nécessite une étude
numérique qui révèle un nouveau régime au-delà des régimes intégrable, adiabatique
et résonnant : le régime chaotique.
Pour identifier ce nouveau régime, il est plus simple d’étudier le hamiltonien de
Chirikov-Taylor H CT associé au couple de variables canoniques (J , u) et dépendant du temps, obtenu en considérant une infinité de résonances équidistantes et
de même amplitude. Le hamiltonien de Chirikov-Taylor H CT peut être considéré
comme la symétrisation des hamiltoniens à deux ondes du type H R afin d’éliminer
les effets de bord.
H R =
J
2
2
+ V n cos (u − 2pnt) + V m cos (u − 2pmt) →
H CT =
J
2
2
+ V
n=+∞
n=−∞
cos (u − 2pnt) (10.66)
La formule sommatoire de Poisson :
n=+∞
n=−∞
exp (i2pnt) =
n=+∞
n=−∞
d (t − n)
permet alors d’établir les équations de Hamilton sous la forme :
d J /dt = V sin u
n=+∞
n=−∞
d (t − n) , du/dt = J .
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