10.5 Chaos
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10.5 CHAOS
Nous venons d’étudier, successivement, les régimes d’interactions adiabatique et
résonant, l’étude de ce dernier cas a été restreinte à l’analyse d’une résonance isolée ; mais, en général, comme dans le cas cyclotronique qui vient d’être présenté, le
hamiltonien décrivant l’interaction possède une série de résonances :
H (J, u) = H 0 (J) +
N
V N (J) cos [N·u − v N t] .
Il est donc nécessaire d’étudier les interactions entre plusieurs résonances.
10.5.1 Critère de Chirikov
Considérons donc un hamiltonien H R présentant deux résonances voisines :
N 1 ·v (J 1 ) = 0 et N 2 ·v (J 2 ) = 0.
H R = H 0 (J) + V N 1 cos [N 1 ·u] + V N 2 cos [N 2 ·u]
(10.64)
Nous avons démontré que dans l’espace des actions ces deux résonances :
N 1 ·v (J 1 ) = 0 et N 2 ·v (J 2 ) = 0
définissent deux courbes. Au voisinage de chacune de ces courbes le domaine normalisé de piégeage, ou largeur d’îlot, est défini par les relations (10.30 et 10.61) :
DJ 1 = 4N 1
V N1 (J 1 ) /N 1 ·M (J 1 ) ·N 1 ,
DJ 2 = 4N 2
V N2 (J 2 ) /N 2 ·M (J 2 ) ·N 2 .
La figure 10.20 illustre ce régime à plusieurs résonances. Introduisons le paramètre S
qui mesure le rapport de la somme des deux demi-largeurs de piégeage sur la distance
entre les résonances.
S ≡
[Somme des demi-largeurs des zones piégées]
[Distance entre les points O des résonances]
=
N 1 ·N 2
|N 1 | |N 2 |
|DJ 1 | + |DJ 2 |
2 |J 2 − J 1 |
(10.65)
S est appelé le paramètre de Chirikov : s’il est plus petit que 1, les domaines piégés
sont disjoints et l’influence mutuelle des deux résonances n’a pas lieu d’être considérée, les résultats du paragraphe précédent sont alors valides.
Par contre, si S 1, les orbites entre les deux résonances seront déterminées par
une tendance au piégeage dans la résonance N 1 et par une tendance au piégeage
dans la résonance N 2 . Ces deux tendances contradictoires perturbent fortement le
mouvement et sont à l’origine d’un comportement complexe. Existe-t-il un critère de
dominance entre deux résonances se recouvrant ainsi ? La réponse à cette question est
aisée s’il existe un ordering fort entre l’amplitude des deux résonances, V N 1 V N 2
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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10.5 CHAOS
Nous venons d’étudier, successivement, les régimes d’interactions adiabatique et
résonant, l’étude de ce dernier cas a été restreinte à l’analyse d’une résonance isolée ; mais, en général, comme dans le cas cyclotronique qui vient d’être présenté, le
hamiltonien décrivant l’interaction possède une série de résonances :
H (J, u) = H 0 (J) +
N
V N (J) cos [N·u − v N t] .
Il est donc nécessaire d’étudier les interactions entre plusieurs résonances.
10.5.1 Critère de Chirikov
Considérons donc un hamiltonien H R présentant deux résonances voisines :
N 1 ·v (J 1 ) = 0 et N 2 ·v (J 2 ) = 0.
H R = H 0 (J) + V N 1 cos [N 1 ·u] + V N 2 cos [N 2 ·u]
(10.64)
Nous avons démontré que dans l’espace des actions ces deux résonances :
N 1 ·v (J 1 ) = 0 et N 2 ·v (J 2 ) = 0
définissent deux courbes. Au voisinage de chacune de ces courbes le domaine normalisé de piégeage, ou largeur d’îlot, est défini par les relations (10.30 et 10.61) :
DJ 1 = 4N 1
V N1 (J 1 ) /N 1 ·M (J 1 ) ·N 1 ,
DJ 2 = 4N 2
V N2 (J 2 ) /N 2 ·M (J 2 ) ·N 2 .
La figure 10.20 illustre ce régime à plusieurs résonances. Introduisons le paramètre S
qui mesure le rapport de la somme des deux demi-largeurs de piégeage sur la distance
entre les résonances.
S ≡
[Somme des demi-largeurs des zones piégées]
[Distance entre les points O des résonances]
=
N 1 ·N 2
|N 1 | |N 2 |
|DJ 1 | + |DJ 2 |
2 |J 2 − J 1 |
(10.65)
S est appelé le paramètre de Chirikov : s’il est plus petit que 1, les domaines piégés
sont disjoints et l’influence mutuelle des deux résonances n’a pas lieu d’être considérée, les résultats du paragraphe précédent sont alors valides.
Par contre, si S 1, les orbites entre les deux résonances seront déterminées par
une tendance au piégeage dans la résonance N 1 et par une tendance au piégeage
dans la résonance N 2 . Ces deux tendances contradictoires perturbent fortement le
mouvement et sont à l’origine d’un comportement complexe. Existe-t-il un critère de
dominance entre deux résonances se recouvrant ainsi ? La réponse à cette question est
aisée s’il existe un ordering fort entre l’amplitude des deux résonances, V N 1 V N 2
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit