10.4 Résonances
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où n décrit l’ensemble des entiers et où J n (b) sont les fonctions de Bessel de première espèce, d’ordre entier, définis (entre autres) par la récurrence :
J 0 (x) = 1−
x
2
2 2 +
x
4
2 2 4 2 −
x
6
2 2 4 2 6 2 ..., J 1 (x) = −
d J 0
dx
→ J n+1 (x) =
2n
x
J n (x)−J n−1 (x)
Les graphes des trois premières fonctions de Bessel, J n (x) pour n = 0, 1, 2, sont
représentés sur la figure 10.18.
1
0
2
1 0
J 0
J 1
J 2
Figure 10.18 Fonctions de Bessel Jn (x), n = 0, 1, 2.
Ainsi, le hamiltonien apparaît comme la somme d’une série de résonances entre le
mouvement cyclotronique de rotation et la rotation de la phase de l’onde.
V =
a
g
I
2
n=+∞
n=−∞
J n
k
√
2I
[cos [vt + (n − 1) u + k X] − cos [vt + (n + 1) u + k X]]
Compte tenu de l’identité : 2J
n (u) = J n−1 (u) − J n+1 (u), où le prime dénote la dérivée par rapport à l’argument u, les résonances n − 1 et n + 1 peuvent être regroupées
deux à deux pour simplifier la série, le résultat final :
V = −a
√
2I
1 + I +
P 2
2
n=+∞
n=−∞
J
n
k
√
2I
cos (vt + nu + k X)
présente donc deux types de résonances.
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