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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
particule chargée est plongée dans un champ magnétique uniforme B 0 = B 0 e z dérivant du potentiel vecteur A 0 = −B 0 y e x . Dans le cadre d’une description hamiltonienne on introduit p = p x e x + p y e y + P e z le moment canoniquement conjugué à la position r. Au cours de cette étude nous utiliserons un système d’unités tel que l’unité de masse soit m, l’unité d’intensité e
2 B 0 /m, l’unité de longueur
cm/eB 0 (où c est la vitesse de la lumière) et l’unité de temps m/eB 0 . Afin de développer un formalisme de perturbation efficace effectuons la transformation canonique (10.33)
p x , p y
, (x, y)
→ [(I , X ) , (u, Y )] qui se traduit par les relations :
x = X +
√
2I sin u et y = Y +
√
2I cos u. Ainsi le hamiltonien relativiste (10.7)
décrivant le mouvement cyclotronique s’exprime comme :
H 0 = g =
1 +
p − A 0
2 =
1 + I +
P 2
2
Étudions maintenant l’interaction de cette particule magnétisée avec une OPMH
dérivant du potentiel vecteur a = a sin (vt + kx) e y ; le potentiel vecteur A est donc
la somme du potentiel décrivant le champ statique A 0 plus le potentiel associé à cette
onde a.
A = A 0 + a = − y e x + a sin (vt + kx) e y
Le hamiltonien de la particule interagissant avec cette superposition de deux champs
est donc donné par :
H 0 + V =
1 +
p − A 0 − a
2 =
1 +
p − A 0
2 −
p − A 0
·a
g
+
1
2g
a
2
où nous avons séparé une partie intégrable H 0 associée au champ statique et une
perturbation V associée à l’onde. La perturbation V est composée de deux termes,
un terme linéaire en a appelé couplage dipolaire et un terme quadratique dénommé
couplage pondéromoteur.
La théorie de l’interaction onde-particule est centrée sur l’étude du terme dipolaire,
le terme pondéromoteur est en général négligeable devant les effet dipolaires résonnants. L’identification des résonances associées au terme dipolaire nécessite l’utilisation des variables angles-actions afin d’analyser la brisure de l’adiabaticité.
p − A 0
·a = −a
√
2I sin
vt + k
√
2I sin u + k X
sin u
Cette dernière expression peut être développée en utilisant l’identité :
sin [u + b sin a] =
J n (b) sin [u + na]
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
particule chargée est plongée dans un champ magnétique uniforme B 0 = B 0 e z dérivant du potentiel vecteur A 0 = −B 0 y e x . Dans le cadre d’une description hamiltonienne on introduit p = p x e x + p y e y + P e z le moment canoniquement conjugué à la position r. Au cours de cette étude nous utiliserons un système d’unités tel que l’unité de masse soit m, l’unité d’intensité e
2 B 0 /m, l’unité de longueur
cm/eB 0 (où c est la vitesse de la lumière) et l’unité de temps m/eB 0 . Afin de développer un formalisme de perturbation efficace effectuons la transformation canonique (10.33)
p x , p y
, (x, y)
→ [(I , X ) , (u, Y )] qui se traduit par les relations :
x = X +
√
2I sin u et y = Y +
√
2I cos u. Ainsi le hamiltonien relativiste (10.7)
décrivant le mouvement cyclotronique s’exprime comme :
H 0 = g =
1 +
p − A 0
2 =
1 + I +
P 2
2
Étudions maintenant l’interaction de cette particule magnétisée avec une OPMH
dérivant du potentiel vecteur a = a sin (vt + kx) e y ; le potentiel vecteur A est donc
la somme du potentiel décrivant le champ statique A 0 plus le potentiel associé à cette
onde a.
A = A 0 + a = − y e x + a sin (vt + kx) e y
Le hamiltonien de la particule interagissant avec cette superposition de deux champs
est donc donné par :
H 0 + V =
1 +
p − A 0 − a
2 =
1 +
p − A 0
2 −
p − A 0
·a
g
+
1
2g
a
2
où nous avons séparé une partie intégrable H 0 associée au champ statique et une
perturbation V associée à l’onde. La perturbation V est composée de deux termes,
un terme linéaire en a appelé couplage dipolaire et un terme quadratique dénommé
couplage pondéromoteur.
La théorie de l’interaction onde-particule est centrée sur l’étude du terme dipolaire,
le terme pondéromoteur est en général négligeable devant les effet dipolaires résonnants. L’identification des résonances associées au terme dipolaire nécessite l’utilisation des variables angles-actions afin d’analyser la brisure de l’adiabaticité.
p − A 0
·a = −a
√
2I sin
vt + k
√
2I sin u + k X
sin u
Cette dernière expression peut être développée en utilisant l’identité :
sin [u + b sin a] =
J n (b) sin [u + na]
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit