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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
qui permet de réduire le hamiltonien précédent à une forme canonique plus appropriée pour cette étude énergétique :
K → H (I , w) =
1
2
(I − v 0 )
2
− V
2 cos w,
où nous avons introduit la pulsation :
V
2
=
V N (J 0 )
N·M (J 0 ) ·N
(10.61)
Évaluons, pour les temps courts, l’évolution de l’angle w et de l’action I à partir d’un
point initial d’angle w 0 et d’action I 0 (Figure 10.16). La conservation de l’énergie se
traduit par la relation : (I − v 0 )
2
− 2V
2 cos w = (I 0 − v 0 )
2
− 2V
2 cos w 0 . À l’ordre
zéro, c’est-à-dire en négligeant la résonance, nous obtenons l’évolution inertielle :
I = I 0 et w = w 0 +(I 0 − v 0 ) t qui permet d’exprimer la variation d’action au premier
ordre.
I (I 0 , w 0 , t) = I 0 −
2V
2
I 0 − v 0
sin
I 0 − v 0
2
t
sin
I 0 − v 0
2
t + w 0
L’évolution aux temps courts de l’action est une fonction de sa phase initiale w 0 et
de son action initiale I 0 . Ce phénomène, lié à la non-linéarité du couplage, est appelé
bunching dans l’espace des phases car il provoque des accumulations et déplétions
de particules et la distribution en phase, initialement homogène, devient inhomogène
(Figure 10.16). Ce phénomène de bunching, s’il est considéré comme une cause et
non comme une conséquence, constitue la source du transfert d’énergie ; en effet,
en électrodynamique, la phase (moyenne) relative entre un champ électrique et un
ensemble de particules détermine la nature, active ou réactive, du transfert d’énergie.
En physique des plasmas, la phase relative de l’onde et des particules est initialement
uniformément distribuée. Il est donc nécessaire de moyénner la relation précédente
sur la phase initiale pour évaluer le transfert d’énergie résonnant entre une population
de particules et une onde. La valeur moyenne I − I 0 w0 = dI w0 = 0 est nulle ; par
contre, la valeur moyenne du carré de l’incrément d’action est non nulle.
dI
2
w0
=
2V
4
(I 0 − v 0 )
2
sin
2
I 0 − v 0
2
t
(10.62)
La relation d’Einstein (10.28) permet d’en déduire la variation d’action, au deuxième
ordre, de la population distribuée uniformément en phase initiale.
dI w0 = V
4 t
2 G [(I 0 − v 0 ) t]
(10.63)
où nous avons introduit la fonction de gain G défini par :
G (x) ≡
cos x +
x
2
sin x − 1
/x
3
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
qui permet de réduire le hamiltonien précédent à une forme canonique plus appropriée pour cette étude énergétique :
K → H (I , w) =
1
2
(I − v 0 )
2
− V
2 cos w,
où nous avons introduit la pulsation :
V
2
=
V N (J 0 )
N·M (J 0 ) ·N
(10.61)
Évaluons, pour les temps courts, l’évolution de l’angle w et de l’action I à partir d’un
point initial d’angle w 0 et d’action I 0 (Figure 10.16). La conservation de l’énergie se
traduit par la relation : (I − v 0 )
2
− 2V
2 cos w = (I 0 − v 0 )
2
− 2V
2 cos w 0 . À l’ordre
zéro, c’est-à-dire en négligeant la résonance, nous obtenons l’évolution inertielle :
I = I 0 et w = w 0 +(I 0 − v 0 ) t qui permet d’exprimer la variation d’action au premier
ordre.
I (I 0 , w 0 , t) = I 0 −
2V
2
I 0 − v 0
sin
I 0 − v 0
2
t
sin
I 0 − v 0
2
t + w 0
L’évolution aux temps courts de l’action est une fonction de sa phase initiale w 0 et
de son action initiale I 0 . Ce phénomène, lié à la non-linéarité du couplage, est appelé
bunching dans l’espace des phases car il provoque des accumulations et déplétions
de particules et la distribution en phase, initialement homogène, devient inhomogène
(Figure 10.16). Ce phénomène de bunching, s’il est considéré comme une cause et
non comme une conséquence, constitue la source du transfert d’énergie ; en effet,
en électrodynamique, la phase (moyenne) relative entre un champ électrique et un
ensemble de particules détermine la nature, active ou réactive, du transfert d’énergie.
En physique des plasmas, la phase relative de l’onde et des particules est initialement
uniformément distribuée. Il est donc nécessaire de moyénner la relation précédente
sur la phase initiale pour évaluer le transfert d’énergie résonnant entre une population
de particules et une onde. La valeur moyenne I − I 0 w0 = dI w0 = 0 est nulle ; par
contre, la valeur moyenne du carré de l’incrément d’action est non nulle.
dI
2
w0
=
2V
4
(I 0 − v 0 )
2
sin
2
I 0 − v 0
2
t
(10.62)
La relation d’Einstein (10.28) permet d’en déduire la variation d’action, au deuxième
ordre, de la population distribuée uniformément en phase initiale.
dI w0 = V
4 t
2 G [(I 0 − v 0 ) t]
(10.63)
où nous avons introduit la fonction de gain G défini par :
G (x) ≡
cos x +
x
2
sin x − 1
/x
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