10.4 Résonances
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Ces trois directions étant indépendantes, définissons un nouveau système de variables
canoniques :
[(J 1 , J 2 , J 3 ) , (u 1 , u 2 , u 3 )] → [(I , I U , I V ) , (f, f U , f V )] .
Ce nouveau système étant engendré par la fonction génératrice linéaire de deuxième
espèce F 2 (u,I , I U , I V ) = J 0 ·u+I N·u+ I U U·u+ I V V·u. Les formules de génération
(10.2) :
J =
∂ F 2
∂u
= J 0 +I N + I U U + I V V,
f =
∂ F 2
∂ I
= N·u
permettent ainsi d’exprimer le nouvel hamiltonien K .
K = K 0 (I U , I V ) + [N·M (J 0 ) ·N]
I
2
2
− V N (J 0 ) cos (f − v 0 t)
(10.60)
Nous reconnaissons le hamiltonien du pendule non-linéaire que nous avons étudié
dans le paragraphe consacré aux systèmes intégrables. Nous avions identifié dans ce
paragraphe deux classes d’orbites, circulante et piégée, ainsi que la nature topologique du portrait de phase. Dans ce paragraphe consacré aux résonances nous allons
étudier l’aspect énergétique du pendule non-linéaire et établir la relation de transfert
d’énergie entre une population dont la phase initiale est uniformement distribuée et
la perturbation à l’origine de la résonance.
I
I 0
I 0
t > 0
t > 0
t = 0
t = 0
ϕ
ϕ 0
ϕ 0
Figure 10.16 Transfert d’énergie pour une résonance Landau.
Pour ce faire, introduisons la fonction génératrice de deuxième espèce :
F 2 (f, I ) = I (f − v 0 t)
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