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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
(appelée résonance Landau dans le contexte de l’interaction onde-particule) sur les
solutions approchées des équations du mouvement. La relation (10.59) définit une
courbe dans l’espace des actions (si l’espace des actions est de dimension 2, ou une
surface s’il est de dimension supérieure) au voisinage de laquelle la théorie adiabatique tombe en défaut (Figure 10.15). Dans cet espace des actions, les courbes (ou
surfaces) isoenergétiques, définies par H 0 (J) = C
te , constituent un deuxième lieu
de points autour desquels s’organise la structure de la résonance.
J 2
J 02
J 01
H0(J 1 ,J 2 )
N I
J 1
N 1 ω 1 + N2 ω2 = ω0
ϕ
I
Figure 10.15 Surface isoénergie, surface de résonance et direction de la perturbation
pour une résonance Landau.
Considérons une action donnée J 0 à l’intersection d’une courbe isoénergie et d’une
courbe de résonance (Figure 10.15). Les équations de Hamilton (10.58) permettent
d’identifier un invariant du mouvement perturbé : N×J ; la variation d’action induite
par la perturbation V N (J) s’effectue donc suivant la direction N dans l’espace des
actions. Ainsi, il est possible de restreindre la description de la résonance à l’étude de
la variable scalaire I (t) définie par : J (t) = J 0 +NI (t). Nous allons démontrer que
cette variable scalaire est l’action d’un pendule non-linéaire. Pour ce faire, considérons une particule possédant trois degrés de liberté et développons le hamiltonien au
voisinage de J 0 , le développement étant mené au deuxième ordre.
H (J, u) = H 0 (J 0 ) + v (J 0 ) · (J − J 0 )
+
1
2
(J − J 0 ) ·M (J 0 ) · (J − J 0 ) − V N (J 0 ) cos [N·u − v 0 t]
Ensuite, introduisons trois directions de référence indépendantes (la matrice M étant
supposée non singulière et non dégénérée) dans l’espace des actions :
N, U = [M·N] × N et V = [M·N] × U.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
(appelée résonance Landau dans le contexte de l’interaction onde-particule) sur les
solutions approchées des équations du mouvement. La relation (10.59) définit une
courbe dans l’espace des actions (si l’espace des actions est de dimension 2, ou une
surface s’il est de dimension supérieure) au voisinage de laquelle la théorie adiabatique tombe en défaut (Figure 10.15). Dans cet espace des actions, les courbes (ou
surfaces) isoenergétiques, définies par H 0 (J) = C
te , constituent un deuxième lieu
de points autour desquels s’organise la structure de la résonance.
J 2
J 02
J 01
H0(J 1 ,J 2 )
N I
J 1
N 1 ω 1 + N2 ω2 = ω0
ϕ
I
Figure 10.15 Surface isoénergie, surface de résonance et direction de la perturbation
pour une résonance Landau.
Considérons une action donnée J 0 à l’intersection d’une courbe isoénergie et d’une
courbe de résonance (Figure 10.15). Les équations de Hamilton (10.58) permettent
d’identifier un invariant du mouvement perturbé : N×J ; la variation d’action induite
par la perturbation V N (J) s’effectue donc suivant la direction N dans l’espace des
actions. Ainsi, il est possible de restreindre la description de la résonance à l’étude de
la variable scalaire I (t) définie par : J (t) = J 0 +NI (t). Nous allons démontrer que
cette variable scalaire est l’action d’un pendule non-linéaire. Pour ce faire, considérons une particule possédant trois degrés de liberté et développons le hamiltonien au
voisinage de J 0 , le développement étant mené au deuxième ordre.
H (J, u) = H 0 (J 0 ) + v (J 0 ) · (J − J 0 )
+
1
2
(J − J 0 ) ·M (J 0 ) · (J − J 0 ) − V N (J 0 ) cos [N·u − v 0 t]
Ensuite, introduisons trois directions de référence indépendantes (la matrice M étant
supposée non singulière et non dégénérée) dans l’espace des actions :
N, U = [M·N] × N et V = [M·N] × U.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit