10.4 Résonances
399
fait apparaître le carré de la fonction sinus cardinal et démontre ainsi que, quelque
soit le niveau d’excitation initiale J 0 , un ensemble d’oscillateurs sans préparation initiale de la phase u 0 absorbe toujours de l’énergie : dJ u0 > 0. Seuls les oscillateurs
non-linéaires, au voisinage de leurs résonances, sous certaines conditions, peuvent
convertir leur énergie mécanique en énergie électromagnétique. La raison de cette
propriété est à rechercher dans le processus de synchronisation des oscillateurs. En
effet, un ensemble d’oscillateurs linéaires ne peut pas être synchronisé (principe de
superposition des réponses linéaires), par contre, la synchronisation est une propriété
générique des oscillateurs non-linéaires.
10.4.2 Résonances Landau
Le plus simple et le plus répandu des systèmes non-linéaires est le pendule nonlinéaire. L’origine de son importance est à rechercher dans le théorème de représentation par série de Fourier qui permet d’exprimer n’importe quel hamiltonien,
voisin d’un hamiltonien intégrable, comme une série de Fourier sur les variables
angles : ainsi, tout système peut être considéré comme une combinaison de pendules
non-linéaires (10.41). Isolons une composante de Fourier V N (J) cos [N·u − v 0 t]
de cette série et considérons un système intégrable perturbé par une telle résonance
non-linéaire.
H (J, u, t) = H 0 (J) − V N (J) cos [N·u − v 0 t]
Introduisons les pulsations non perturbées v et l’inverse de la matrice de masse
M (10.40). La théorie des perturbations adiabatiques peut être appliquée lorsque
|V N (J, u)| | |H 0 (J)|. Mais, au voisinage d’une résonance : N·v ∼ v 0 , même si
l’amplitude V N reste petite, elle apparaît dans le schéma perturbateur (10.42) comme
un numérateur au-dessus d’un dénominateur petit et l’ordering de départ est brisé
(10.54). La méthode de moyennisation utile pour étudier le régime adiabatique est
donc inappropriée au voisinage des résonances. Il est alors nécessaire de considérer
les équations de Hamilton.
dJ
dt
= −NV N (J) sin [N·u − v 0 t]
du
dt
= v (J) −
∂V N (J)
∂J
cos [N·u − v 0 t]
(10.58)
Une intégration sur les temps courts à partir du point [J 0 , u 0 ] donne :
J (t) = J 0 + N
V N (J 0 )
N·v (J 0 ) − v 0
[cos (N·v (J 0 ) t − v 0 t + N·u 0 ) − cos (N·u 0 )]
et montre clairement l’impact de la résonance :
N·v (J 0 ) = v 0
(10.59)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
399
fait apparaître le carré de la fonction sinus cardinal et démontre ainsi que, quelque
soit le niveau d’excitation initiale J 0 , un ensemble d’oscillateurs sans préparation initiale de la phase u 0 absorbe toujours de l’énergie : dJ u0 > 0. Seuls les oscillateurs
non-linéaires, au voisinage de leurs résonances, sous certaines conditions, peuvent
convertir leur énergie mécanique en énergie électromagnétique. La raison de cette
propriété est à rechercher dans le processus de synchronisation des oscillateurs. En
effet, un ensemble d’oscillateurs linéaires ne peut pas être synchronisé (principe de
superposition des réponses linéaires), par contre, la synchronisation est une propriété
générique des oscillateurs non-linéaires.
10.4.2 Résonances Landau
Le plus simple et le plus répandu des systèmes non-linéaires est le pendule nonlinéaire. L’origine de son importance est à rechercher dans le théorème de représentation par série de Fourier qui permet d’exprimer n’importe quel hamiltonien,
voisin d’un hamiltonien intégrable, comme une série de Fourier sur les variables
angles : ainsi, tout système peut être considéré comme une combinaison de pendules
non-linéaires (10.41). Isolons une composante de Fourier V N (J) cos [N·u − v 0 t]
de cette série et considérons un système intégrable perturbé par une telle résonance
non-linéaire.
H (J, u, t) = H 0 (J) − V N (J) cos [N·u − v 0 t]
Introduisons les pulsations non perturbées v et l’inverse de la matrice de masse
M (10.40). La théorie des perturbations adiabatiques peut être appliquée lorsque
|V N (J, u)| | |H 0 (J)|. Mais, au voisinage d’une résonance : N·v ∼ v 0 , même si
l’amplitude V N reste petite, elle apparaît dans le schéma perturbateur (10.42) comme
un numérateur au-dessus d’un dénominateur petit et l’ordering de départ est brisé
(10.54). La méthode de moyennisation utile pour étudier le régime adiabatique est
donc inappropriée au voisinage des résonances. Il est alors nécessaire de considérer
les équations de Hamilton.
dJ
dt
= −NV N (J) sin [N·u − v 0 t]
du
dt
= v (J) −
∂V N (J)
∂J
cos [N·u − v 0 t]
(10.58)
Une intégration sur les temps courts à partir du point [J 0 , u 0 ] donne :
J (t) = J 0 + N
V N (J 0 )
N·v (J 0 ) − v 0
[cos (N·v (J 0 ) t − v 0 t + N·u 0 ) − cos (N·u 0 )]
et montre clairement l’impact de la résonance :
N·v (J 0 ) = v 0
(10.59)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit