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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
Ces deux oscillateurs donnent lieu aux phénomènes de résonances linéaire et nonlinéaire. Nous allons d’abord étudier les résonances linéaires et démontrer qu’un
ensemble d’oscillateurs linéaires résonnants ne peut pas transférer d’énergie à un
champ et se comporte toujours comme un milieu absorbant malgré l’absence de dissipation. L’origine de cette dissipation est à rechercher dans l’hypothèse des phases
aléatoires qui implique une production d’entropie. Soit un oscillateur linéaire (10.25)
excité par une force périodique E cos vt :
H ( p, q, t) =
p
2
2
+ V
2 q
2
2
+ q E cos vt
(10.55)
Les variables angle u et action J de cet oscillateur non perturbé (10.26) constituent
le cadre approprié pour l’analyse des transferts d’énergie entre la force E cos vt et
l’oscillateur : q =
2J /V sin u, p =
√
2J V cos u. Ainsi le hamiltonien se sépare
en une partie intégrable H 0 et une perturbation résonnante V .
H = H 0 (J ) + V (J , u) = VJ + E
J
2V
[sin (u − vt) + sin (u + vt)]
(10.56)
Essayons de construire un développement perturbatif pour résoudre les équations de
Hamilton. Pour ce faire, calculons l’incrément d’action au premier ordre en V /H 0
pour un oscillateur excité à partir d’un état initial (J 0 , u 0 ) à l’instant t = 0.
dJ (J 0 , u 0 , t) = J (t) − J 0 = −E
J 0
2V
sin
(V − v) t + u 0
− sin (u 0 )
V − v
où nous avons négligé le terme non résonnant devant le terme résonnant. Ce dernier résultat indique qu’il n’y a pas d’échange d’énergie au premier ordre si nous
considérons un ensemble d’oscillateurs dont la phase initiale u 0 est uniformément
distribuée : dJ u0 = 0.
Le calcul de l’échange d’énergie entre un ensemble d’oscillateurs et la force E cos vt
doit donc être mené au deuxième ordre en V /H 0 . Ce calcul est grandement simplifié
par la relation d’Einstein (10.28) ; il est alors simplement nécessaire d’évaluer la
moyenne du carré de l’échange au premier ordre.
dJ dJ u0 = E
2 J 0
V
sin
2
V−v
2 t
(V − v)
2
et de prendre sa dérivée par rapport à l’action conformément à la formule (10.28). Le
résultat final :
dJ u0 =
1
2
∂
∂ J 0
dJ dJ u0 → →dJ u0 =
E
2
2V
sin
2
V−v
2 t
(V − v)
2
(10.57)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
Ces deux oscillateurs donnent lieu aux phénomènes de résonances linéaire et nonlinéaire. Nous allons d’abord étudier les résonances linéaires et démontrer qu’un
ensemble d’oscillateurs linéaires résonnants ne peut pas transférer d’énergie à un
champ et se comporte toujours comme un milieu absorbant malgré l’absence de dissipation. L’origine de cette dissipation est à rechercher dans l’hypothèse des phases
aléatoires qui implique une production d’entropie. Soit un oscillateur linéaire (10.25)
excité par une force périodique E cos vt :
H ( p, q, t) =
p
2
2
+ V
2 q
2
2
+ q E cos vt
(10.55)
Les variables angle u et action J de cet oscillateur non perturbé (10.26) constituent
le cadre approprié pour l’analyse des transferts d’énergie entre la force E cos vt et
l’oscillateur : q =
2J /V sin u, p =
√
2J V cos u. Ainsi le hamiltonien se sépare
en une partie intégrable H 0 et une perturbation résonnante V .
H = H 0 (J ) + V (J , u) = VJ + E
J
2V
[sin (u − vt) + sin (u + vt)]
(10.56)
Essayons de construire un développement perturbatif pour résoudre les équations de
Hamilton. Pour ce faire, calculons l’incrément d’action au premier ordre en V /H 0
pour un oscillateur excité à partir d’un état initial (J 0 , u 0 ) à l’instant t = 0.
dJ (J 0 , u 0 , t) = J (t) − J 0 = −E
J 0
2V
sin
(V − v) t + u 0
− sin (u 0 )
V − v
où nous avons négligé le terme non résonnant devant le terme résonnant. Ce dernier résultat indique qu’il n’y a pas d’échange d’énergie au premier ordre si nous
considérons un ensemble d’oscillateurs dont la phase initiale u 0 est uniformément
distribuée : dJ u0 = 0.
Le calcul de l’échange d’énergie entre un ensemble d’oscillateurs et la force E cos vt
doit donc être mené au deuxième ordre en V /H 0 . Ce calcul est grandement simplifié
par la relation d’Einstein (10.28) ; il est alors simplement nécessaire d’évaluer la
moyenne du carré de l’échange au premier ordre.
dJ dJ u0 = E
2 J 0
V
sin
2
V−v
2 t
(V − v)
2
et de prendre sa dérivée par rapport à l’action conformément à la formule (10.28). Le
résultat final :
dJ u0 =
1
2
∂
∂ J 0
dJ dJ u0 → →dJ u0 =
E
2
2V
sin
2
V−v
2 t
(V − v)
2
(10.57)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit