10.4 Résonances
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10.4 RÉSONANCES
La théorie des perturbations adiabatiques, aux premier et deuxième ordres, ainsi que
l’invariance adiabatique des actions, constituent les deux principaux résultats permettant d’étudier les systèmes non-intégrables voisins d’un système intégrable ; l’hypothèse qui sous-tend la validité de ces résultats est l’absence de résonances. En effet,
dans le hamiltonien adiabatique K (I) (10.45) associé au hamiltonien non-intégrable
H 0 (J) + V (J, u), ainsi que dans la transformation canonique (10.43), apparaissent
des dénominateurs du type N·v (J) = N 1 v 1 (J)+ N 2 v 2 (J)+ N 3 v 3 (J) qui, lorsqu’ils
prennent des valeurs faibles, sont qualifiés de résonnants.
Ainsi, bien que V soit petit devant H 0 , il n’est pas exclu que certains éléments du
développement de V = V 0 +
V N cos [N·u] brisent cet ordering adiabatique en
présence d’un dénominateur résonnant.
|V (J, u)| | |H 0 (J)| et |N·v (J)| | 0 →
V N (J, u)
N·v (J)
|H 0 (J)| (10.54)
Il est alors nécessaire de considérer séparément ces termes résonnants qui brisent
l’adiabaticité de la perturbation. L’analyse de ces termes est extrêmement importante
car en régime adiabatique les transferts d’impulsion-énergie entre un champ et une
particule sont exponentiellement faibles contrairement au régime résonnant où ces
transferts sont importants et peuvent croître exponentiellement avec le temps sous
certaines conditions d’instabilité.
Le fait que les transferts d’impulsion-énergie soient significatifs uniquement en
régime résonnant confère aux couplages résonnants un statut particulier :
• il est parfois nécessaire d’éviter de telles résonances qui peuvent être dommageables, par exemple, dans les problèmes de confinement ;
• il est par contre utile de rechercher de tels couplages résonnants pour des systèmes
d’accélération ou pour des schémas de chauffage.
Deux paramètres importants sont à considérer pour une résonance :
• son extension dans l’espace des phases (10.30), c’est-à-dire l’ensemble des positions et vitesses piégées (figure 10.10) ;
• le transfert d’énergie entre le champ et la particule associée à ce couplage.
Ce paragraphe est consacré à l’identification des principales résonances champ électromagnétique-particule et au calcul des transferts d’énergie-impulsion résonnants.
10.4.1 Résonances linéaires
Dans le paragraphe consacré aux systèmes intégrables nous avons identifié et décrit
deux types d’oscillateurs :
• l’oscillateur harmonique (10.25) et
• le pendule non-linéaire (10.29).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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10.4 RÉSONANCES
La théorie des perturbations adiabatiques, aux premier et deuxième ordres, ainsi que
l’invariance adiabatique des actions, constituent les deux principaux résultats permettant d’étudier les systèmes non-intégrables voisins d’un système intégrable ; l’hypothèse qui sous-tend la validité de ces résultats est l’absence de résonances. En effet,
dans le hamiltonien adiabatique K (I) (10.45) associé au hamiltonien non-intégrable
H 0 (J) + V (J, u), ainsi que dans la transformation canonique (10.43), apparaissent
des dénominateurs du type N·v (J) = N 1 v 1 (J)+ N 2 v 2 (J)+ N 3 v 3 (J) qui, lorsqu’ils
prennent des valeurs faibles, sont qualifiés de résonnants.
Ainsi, bien que V soit petit devant H 0 , il n’est pas exclu que certains éléments du
développement de V = V 0 +
V N cos [N·u] brisent cet ordering adiabatique en
présence d’un dénominateur résonnant.
|V (J, u)| | |H 0 (J)| et |N·v (J)| | 0 →
V N (J, u)
N·v (J)
|H 0 (J)| (10.54)
Il est alors nécessaire de considérer séparément ces termes résonnants qui brisent
l’adiabaticité de la perturbation. L’analyse de ces termes est extrêmement importante
car en régime adiabatique les transferts d’impulsion-énergie entre un champ et une
particule sont exponentiellement faibles contrairement au régime résonnant où ces
transferts sont importants et peuvent croître exponentiellement avec le temps sous
certaines conditions d’instabilité.
Le fait que les transferts d’impulsion-énergie soient significatifs uniquement en
régime résonnant confère aux couplages résonnants un statut particulier :
• il est parfois nécessaire d’éviter de telles résonances qui peuvent être dommageables, par exemple, dans les problèmes de confinement ;
• il est par contre utile de rechercher de tels couplages résonnants pour des systèmes
d’accélération ou pour des schémas de chauffage.
Deux paramètres importants sont à considérer pour une résonance :
• son extension dans l’espace des phases (10.30), c’est-à-dire l’ensemble des positions et vitesses piégées (figure 10.10) ;
• le transfert d’énergie entre le champ et la particule associée à ce couplage.
Ce paragraphe est consacré à l’identification des principales résonances champ électromagnétique-particule et au calcul des transferts d’énergie-impulsion résonnants.
10.4.1 Résonances linéaires
Dans le paragraphe consacré aux systèmes intégrables nous avons identifié et décrit
deux types d’oscillateurs :
• l’oscillateur harmonique (10.25) et
• le pendule non-linéaire (10.29).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit