10.3 Adiabaticité
395
Au voisinage de l’axe magnétique, à égale distance des deux bobines, c’est-à-dire
dans la zone de confinement, le champ d’une configuration miroir B ainsi que son
potentiel vecteur A peuvent être décrits par un développement de Taylor.
B = B 0
1 +
z
2
L 2
e z − B 0
xz
L 2
e x − B 0
yz
L 2
e y
(10.51)
Considérons une particule chargée de masse m et de charge e piégée dans cette configuration. L’emploi d’un système d’unités naturelles simplifie l’étude de ce problème,
m est l’unité de masse, e
2 B 0 /m est l’unité de courant électrique, m/eB 0 est l’unité
de temps et L l’unité de longueur.
A = A 0 + a = − y e x −
yz
2
2
e x +
xz
2
2
e y
(10.52)
Introduisons les couples de variables angles-actions (10.34) décrivant le système
intégrable associé au champ uniforme A 0 = − y e x : x =
√
2D cos w +
√
2J sin u,
y =
√
2D sin w +
√
2J cos u, p − A 0 =
√
2J cos u e x −
√
2J sin u e y + P e z . Dans
la configuration de champ uniforme le hamiltonien est donné par la forme classique :
H 0 =
p − A 0
2 /2 = J + P
2
/2. L’ajout du potentiel vecteur a décrivant les zones
de champs fort et faible perturbe ce hamiltonien et la perturbation V doit être exprimée en fonction des variables angles et actions.
V = −
p − A 0
·a +
1
2
a
2
= z
2
J +
√
J D sin (u + w)
+
z
4
4
J + D + 2
√
J D sin (u + w)
La théorie des perturbations adiabatiques peut alors être appliquée à cette perturbation V ; les valeurs moyennes des termes de couplage dipolaire et pondéromoteur
sont aisément calculées ainsi que la valeur du terme du deuxième ordre (10.45).
V u = z
2 J +
z
4
4
(J + D) ,
V
2
1
4
−
V 1
2
∂V 1
∂ J
=
1
4
z
4 D (J − 1)
Le hamiltonien décrivant la dynamique d’une particule chargée dans la zone de confinement est alors égal à :
H = J + P
2
/2 + z
2 J + z
4 (J + D J ) /4
où nous avons négligé les termes d’ordre supérieur à z
4 . Le mouvement d’oscillation
le long de l’axe des z entre les deux régions de champ fort est ensuite analysé à l’aide
d’un couple de variables angle-action approprié (I , w) ; on effectue donc une ultime
transformation canonique :
[(u, w, z) , (J , D, P)] → [(u, w, f) , (J , D, I )]
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
395
Au voisinage de l’axe magnétique, à égale distance des deux bobines, c’est-à-dire
dans la zone de confinement, le champ d’une configuration miroir B ainsi que son
potentiel vecteur A peuvent être décrits par un développement de Taylor.
B = B 0
1 +
z
2
L 2
e z − B 0
xz
L 2
e x − B 0
yz
L 2
e y
(10.51)
Considérons une particule chargée de masse m et de charge e piégée dans cette configuration. L’emploi d’un système d’unités naturelles simplifie l’étude de ce problème,
m est l’unité de masse, e
2 B 0 /m est l’unité de courant électrique, m/eB 0 est l’unité
de temps et L l’unité de longueur.
A = A 0 + a = − y e x −
yz
2
2
e x +
xz
2
2
e y
(10.52)
Introduisons les couples de variables angles-actions (10.34) décrivant le système
intégrable associé au champ uniforme A 0 = − y e x : x =
√
2D cos w +
√
2J sin u,
y =
√
2D sin w +
√
2J cos u, p − A 0 =
√
2J cos u e x −
√
2J sin u e y + P e z . Dans
la configuration de champ uniforme le hamiltonien est donné par la forme classique :
H 0 =
p − A 0
2 /2 = J + P
2
/2. L’ajout du potentiel vecteur a décrivant les zones
de champs fort et faible perturbe ce hamiltonien et la perturbation V doit être exprimée en fonction des variables angles et actions.
V = −
p − A 0
·a +
1
2
a
2
= z
2
J +
√
J D sin (u + w)
+
z
4
4
J + D + 2
√
J D sin (u + w)
La théorie des perturbations adiabatiques peut alors être appliquée à cette perturbation V ; les valeurs moyennes des termes de couplage dipolaire et pondéromoteur
sont aisément calculées ainsi que la valeur du terme du deuxième ordre (10.45).
V u = z
2 J +
z
4
4
(J + D) ,
V
2
1
4
−
V 1
2
∂V 1
∂ J
=
1
4
z
4 D (J − 1)
Le hamiltonien décrivant la dynamique d’une particule chargée dans la zone de confinement est alors égal à :
H = J + P
2
/2 + z
2 J + z
4 (J + D J ) /4
où nous avons négligé les termes d’ordre supérieur à z
4 . Le mouvement d’oscillation
le long de l’axe des z entre les deux régions de champ fort est ensuite analysé à l’aide
d’un couple de variables angle-action approprié (I , w) ; on effectue donc une ultime
transformation canonique :
[(u, w, z) , (J , D, P)] → [(u, w, f) , (J , D, I )]
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit