10.3 Adiabaticité
393
variable canonique de configuration conjuguée à l’énergie.
H ( p, E, x, t) =
p
2
2
+ V (x) cos (x − vt) + E
(10.49)
Cette équivalence peut être établie en considérant l’identité des équations de
Hamilton sur x, p et H déduite de (10.49 ) et (10.48). L’utilisation de la théorie
des perturbations adiabatiques nécessite la construction d’un système de variables
angles-actions : [( p, E) , (x, t)] → [(J , I ) , (w, f)]. Ce système de nouvelles
variables canoniques est obtenu à l’aide de la fonction génératrice de deuxième
espèce F 2 (x, t, I , J ) = (vt − x) J + x I . Les relations entre anciennes et nouvelles
variables canoniques sont exprimées par les formules de génération (Tableau 10.2).
p =
∂ F 2
∂x
= I − J ,
E =
∂ F 2
∂t
= vJ
w =
∂ F 2
∂ J
= vt − x,
f =
∂ F 2
∂ I
= x
Le nouvel hamiltonien s’écrit comme la somme d’une partie intégrable décrivant un
mouvement inertiel en l’absence d’onde plus une perturbation décrivant l’interaction
de la particule avec cette onde.
H =
(J − I )
2
2
+ vJ + V (f) cos w
Appliquée au premier ordre, la théorie des perturbations adiabatiques ne prédit aucun
effet séculaire nouveau ; en effet, la moyenne sur l’angle w du terme V (f) cos w
est nulle. La théorie adiabatique doit donc être appliquée au deuxième ordre, ce qui
nécessite le calcul de l’inverse de la matrice de masse M. Les pulsations du problème
non perturbé étant des fonctions linéaires : v w = v + J − I , v f = I − J , cette
matrice est donc constante. Le terme du deuxième ordre se réduit alors à la prise en
considération de l’unique harmonique N = (1, 0) (10.45).
M =
1 −1
−1 1
→
N·M·N
(N·v)
2
V N V N
N=(1,0)
=
V
2 (f)
(v + J − I )
2
L’expression finale, au deuxième ordre adiabatique, du hamiltonien dit pondéromoteur fait apparaître un terme quadratique dépendant de la position. La position étant
conjuguée à l’impulsion, ce terme pondéromoteur quadratique induit donc une force
séculaire.
H =
(J − I )
2
2
+ vJ +
1
4
V
2 (f)
(v + J − I )
2
(10.50)
L’orbite d’une particule chargée soumise à l’influence d’une onde électrostatique
dont l’amplitude dépend de la position est la combinaison d’une oscillation et d’une
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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variable canonique de configuration conjuguée à l’énergie.
H ( p, E, x, t) =
p
2
2
+ V (x) cos (x − vt) + E
(10.49)
Cette équivalence peut être établie en considérant l’identité des équations de
Hamilton sur x, p et H déduite de (10.49 ) et (10.48). L’utilisation de la théorie
des perturbations adiabatiques nécessite la construction d’un système de variables
angles-actions : [( p, E) , (x, t)] → [(J , I ) , (w, f)]. Ce système de nouvelles
variables canoniques est obtenu à l’aide de la fonction génératrice de deuxième
espèce F 2 (x, t, I , J ) = (vt − x) J + x I . Les relations entre anciennes et nouvelles
variables canoniques sont exprimées par les formules de génération (Tableau 10.2).
p =
∂ F 2
∂x
= I − J ,
E =
∂ F 2
∂t
= vJ
w =
∂ F 2
∂ J
= vt − x,
f =
∂ F 2
∂ I
= x
Le nouvel hamiltonien s’écrit comme la somme d’une partie intégrable décrivant un
mouvement inertiel en l’absence d’onde plus une perturbation décrivant l’interaction
de la particule avec cette onde.
H =
(J − I )
2
2
+ vJ + V (f) cos w
Appliquée au premier ordre, la théorie des perturbations adiabatiques ne prédit aucun
effet séculaire nouveau ; en effet, la moyenne sur l’angle w du terme V (f) cos w
est nulle. La théorie adiabatique doit donc être appliquée au deuxième ordre, ce qui
nécessite le calcul de l’inverse de la matrice de masse M. Les pulsations du problème
non perturbé étant des fonctions linéaires : v w = v + J − I , v f = I − J , cette
matrice est donc constante. Le terme du deuxième ordre se réduit alors à la prise en
considération de l’unique harmonique N = (1, 0) (10.45).
M =
1 −1
−1 1
→
N·M·N
(N·v)
2
V N V N
N=(1,0)
=
V
2 (f)
(v + J − I )
2
L’expression finale, au deuxième ordre adiabatique, du hamiltonien dit pondéromoteur fait apparaître un terme quadratique dépendant de la position. La position étant
conjuguée à l’impulsion, ce terme pondéromoteur quadratique induit donc une force
séculaire.
H =
(J − I )
2
2
+ vJ +
1
4
V
2 (f)
(v + J − I )
2
(10.50)
L’orbite d’une particule chargée soumise à l’influence d’une onde électrostatique
dont l’amplitude dépend de la position est la combinaison d’une oscillation et d’une
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit