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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
Les effets séculaires des inhomogénéités peuvent aussi se manifester par l’apparition
d’accélérations, c’est-à-dire de forces séculaires. Considérons un champ magnétique
présentant un gradient de son amplitude le long de sa direction principale tel que les
lignes de champ forment un faisceau de droites localement convergent ou divergent.
B = e z + z e z −
x
2
e x −
y
2
e y ← A = A 0 + a = − y e x −
yz
2
e x +
xz
2
e y
Compte tenu de la symétrie cylindrique de ce champ nous utiliserons le système
de variables canoniques angles-actions construit au chapitre précédent, équation
(10.34) : x =
√
2D cos w +
√
2J sin u
e x +
√
2D sin w +
√
2J cos u
e y et
p − A 0 =
√
2J cos u e x −
√
2J sin u e y + P e z . Le terme perturbateur dipolaire V
résultant de la convergence des lignes de champ a pour expression :
V = −
p − A 0
·a =
z
2
√
2D sin w +
√
2J cos u
√
2J cos u
+
z
2
√
2D cos w +
√
2J sin u
√
2J sin u
Conformément à la théorie des perturbations adiabatiques ce terme dipolaire doit
être moyenné : V u = z J . L’équation de Hamilton décrivant la dynamique de l’impulsion le long des lignes de champ fait alors apparaître une force constante dont
l’amplitude est proportionnelle à l’énergie cinétique du mouvement cyclotronique.
d P
dt
= −
∂ V u
∂z
= −J
(10.47)
Une particule chargée soumise à l’influence d’un champ magnétique convergent ou
divergent est repoussée hors des zones de champ fort et attirée vers les zones de
champ faible : cette force séculaire est donc de nature diamagnétique. Nous retrouvons ici la force diamagnétique identifiée dans le chapitre consacré à l’interaction
champs-particule (5.10).
Une force séculaire apparaît aussi dans le contexte de l’interaction entre un champ
électrique oscillant et une particule chargée : c’est la force pondéromotrice. Cette
force résulte de l’inhomogénéité de l’amplitude du champ oscillant. Pour l’étudier,
considérons un problème à une dimension suivant l’axe des x. Soit une particule de
charge e = 1 et de masse m = 1 interagissant avec une onde électrique, de vecteur
d’onde k = 1, de potentiel : V (x) cos (x − vt).
H ( p, x, t) =
p
2
2
+ V (x) cos (x − vt)
(10.48)
Ce problème possède un seul degré de liberté mais il est complètement équivalent
à un problème à deux degrés de liberté obtenu en considérant le temps t comme un
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
Les effets séculaires des inhomogénéités peuvent aussi se manifester par l’apparition
d’accélérations, c’est-à-dire de forces séculaires. Considérons un champ magnétique
présentant un gradient de son amplitude le long de sa direction principale tel que les
lignes de champ forment un faisceau de droites localement convergent ou divergent.
B = e z + z e z −
x
2
e x −
y
2
e y ← A = A 0 + a = − y e x −
yz
2
e x +
xz
2
e y
Compte tenu de la symétrie cylindrique de ce champ nous utiliserons le système
de variables canoniques angles-actions construit au chapitre précédent, équation
(10.34) : x =
√
2D cos w +
√
2J sin u
e x +
√
2D sin w +
√
2J cos u
e y et
p − A 0 =
√
2J cos u e x −
√
2J sin u e y + P e z . Le terme perturbateur dipolaire V
résultant de la convergence des lignes de champ a pour expression :
V = −
p − A 0
·a =
z
2
√
2D sin w +
√
2J cos u
√
2J cos u
+
z
2
√
2D cos w +
√
2J sin u
√
2J sin u
Conformément à la théorie des perturbations adiabatiques ce terme dipolaire doit
être moyenné : V u = z J . L’équation de Hamilton décrivant la dynamique de l’impulsion le long des lignes de champ fait alors apparaître une force constante dont
l’amplitude est proportionnelle à l’énergie cinétique du mouvement cyclotronique.
d P
dt
= −
∂ V u
∂z
= −J
(10.47)
Une particule chargée soumise à l’influence d’un champ magnétique convergent ou
divergent est repoussée hors des zones de champ fort et attirée vers les zones de
champ faible : cette force séculaire est donc de nature diamagnétique. Nous retrouvons ici la force diamagnétique identifiée dans le chapitre consacré à l’interaction
champs-particule (5.10).
Une force séculaire apparaît aussi dans le contexte de l’interaction entre un champ
électrique oscillant et une particule chargée : c’est la force pondéromotrice. Cette
force résulte de l’inhomogénéité de l’amplitude du champ oscillant. Pour l’étudier,
considérons un problème à une dimension suivant l’axe des x. Soit une particule de
charge e = 1 et de masse m = 1 interagissant avec une onde électrique, de vecteur
d’onde k = 1, de potentiel : V (x) cos (x − vt).
H ( p, x, t) =
p
2
2
+ V (x) cos (x − vt)
(10.48)
Ce problème possède un seul degré de liberté mais il est complètement équivalent
à un problème à deux degrés de liberté obtenu en considérant le temps t comme un
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit