10.3 Adiabaticité
391
chapitre précédent (10.33) : r =
X +
√
2J sin u
e x +
Y +
√
2J cos u
e y + z e z
et p − A 0 =
√
2J cos u e x −
√
2J sin u e y + P e z . L’expression du hamiltonien en
fonction de ces variables angle-action est donnée par :
H 0 =
1
2
p − A 0
2 = J +
P
2
2
Lorsque le système est perturbé par un champ supplémentaire dérivant du potentiel vecteur a, le potentiel vecteur du système doit être modifié en conséquence,
A = A 0 + a, et le hamiltonien décrivant la dynamique de ce système perturbé peut
alors être séparé en une composante intégrable H 0 et une perturbation V par simple
développement de la forme quadratique constituant le hamiltonien non relativiste.
H 0 + V =
1
2
p − A 0
− a
2 = J +
P
2
2
−
p − A 0
·a +
1
2
a
2
Les deux termes perturbateurs ainsi identifiés sont appelés le couplage dipolaire
p − A 0
·a et le terme pondéromoteur a
2 .
Considérons d’abord le problème de l’orbite d’une particule chargée dans un champ
magnétique possédant une direction constante et présentant un gradient de son amplitude orthogonalement à cette direction de référence.
B = e z + x e z ← A = A 0 + a = −y e x − yx e x
Au premier ordre la perturbation du hamiltonien se réduit donc au couplage dipolaire
p − A 0
·a dont l’expression :
V = −
p − A 0
·a =
X +
√
2J sin u
Y +
√
2J cos u
√
2J cos u
doit être moyennée sur l’angle u afin d’exprimer la correction adiabatique
V u = J X. L’équation de Hamilton décrivant la dynamique de la coordonnée du
centre guide est alors donnée par :
dY
dt
=
∂ V u
∂ X
= J
(10.46)
Une particule chargée soumise à l’influence d’un champ magnétique inhomogène
présentant un gradient d’amplitude, dans la direction perpendiculaire au champ,
dérive donc dans la direction mutuellement perpendiculaire au champ et au gradient.
La vitesse de cette dérive est proportionnelle à l’énergie cinétique du mouvement
cyclotronique autour des lignes de champ : nous retrouvons ici l’expression de la
vitesse de dérive de gradient V DG (5.19).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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chapitre précédent (10.33) : r =
X +
√
2J sin u
e x +
Y +
√
2J cos u
e y + z e z
et p − A 0 =
√
2J cos u e x −
√
2J sin u e y + P e z . L’expression du hamiltonien en
fonction de ces variables angle-action est donnée par :
H 0 =
1
2
p − A 0
2 = J +
P
2
2
Lorsque le système est perturbé par un champ supplémentaire dérivant du potentiel vecteur a, le potentiel vecteur du système doit être modifié en conséquence,
A = A 0 + a, et le hamiltonien décrivant la dynamique de ce système perturbé peut
alors être séparé en une composante intégrable H 0 et une perturbation V par simple
développement de la forme quadratique constituant le hamiltonien non relativiste.
H 0 + V =
1
2
p − A 0
− a
2 = J +
P
2
2
−
p − A 0
·a +
1
2
a
2
Les deux termes perturbateurs ainsi identifiés sont appelés le couplage dipolaire
p − A 0
·a et le terme pondéromoteur a
2 .
Considérons d’abord le problème de l’orbite d’une particule chargée dans un champ
magnétique possédant une direction constante et présentant un gradient de son amplitude orthogonalement à cette direction de référence.
B = e z + x e z ← A = A 0 + a = −y e x − yx e x
Au premier ordre la perturbation du hamiltonien se réduit donc au couplage dipolaire
p − A 0
·a dont l’expression :
V = −
p − A 0
·a =
X +
√
2J sin u
Y +
√
2J cos u
√
2J cos u
doit être moyennée sur l’angle u afin d’exprimer la correction adiabatique
V u = J X. L’équation de Hamilton décrivant la dynamique de la coordonnée du
centre guide est alors donnée par :
dY
dt
=
∂ V u
∂ X
= J
(10.46)
Une particule chargée soumise à l’influence d’un champ magnétique inhomogène
présentant un gradient d’amplitude, dans la direction perpendiculaire au champ,
dérive donc dans la direction mutuellement perpendiculaire au champ et au gradient.
La vitesse de cette dérive est proportionnelle à l’énergie cinétique du mouvement
cyclotronique autour des lignes de champ : nous retrouvons ici l’expression de la
vitesse de dérive de gradient V DG (5.19).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit