390
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
Si nous effectuons alors la moyenne de l’action sur ces oscillations, au deuxième
ordre en V /H 0 nous obtenons une constante.
d J w
dt
= O
V
2
/H
2
0
→
d
dt
Ci
p·dq
= O
V
2
/H
2
0
Ce dernier résultat permet d’énoncer la propriété d’invariance adiabatique des actions
en présence de perturbations non résonnantes. Une étude plus approfondie du comportement de l’action permettrait de préciser le comportement de l’erreur, ici du
deuxième ordre en V /H 0 , et de démontrer que cette erreur est en fait exponentiellement faible et non simplement en V
2
/H
2
0 . Ce comportement exponentiel confère
à l’action une robustesse aux perturbations allant au delà de ce que prédit la théorie
que nous venons de développer ici.
10.3.2 Dérives et forces séculaires
Dans ce paragraphe nous allons illustrer les méthodes précédentes dans le cadre de
plusieurs problèmes spécifiques et présenter un ensemble de résultats sur les dérives
et forces séculaires dans le contexte de l’interaction entre un champ électromagnétique et une particule chargée. Certains de ces résultats, tels ceux relatifs aux dérives
de gradient et à la force diamagnétique, peuvent être obtenus à l’aide de méthodes
non canoniques ; l’intérêt des méthodes canoniques, présentées et utilisées ici, est
de pouvoir envisager de travailler à des ordres plus élevés et sur des champs plus
complexes.
Les résultats de la théorie des perturbations adiabatiques nécessitent l’identification
d’un hamiltonien non perturbé H 0 , intégrable et dominant, et d’une perturbation V
non intégrable telle que H 0 V . Nous allons, dans un premier temps, construire le
cadre de cette séparation. Soit donc une particule chargée de masse m et de charge e.
Repérons sa position par le vecteur position r = x e x + y e y + z e z et sa vitesse par
le vecteur vitesse v = v x e x + v y e y + v z e z où
e x , e y , e z
est une base cartésienne
orthonormée directe. Cette particule chargée est plongée dans un champ magnétique
uniforme B dérivant du potentiel vecteur A 0 .
B = B 0 e z ← A 0 = −B 0 y e x
Dans le cadre d’une description hamiltonienne de la dynamique de cette particule,
introduisons p = p x e x + p y e y + P e z le moment canoniquement conjugué à
la position r. L’emploi d’un système d’unités naturelles simplifie l’étude de ce
mouvement intégrable : m est l’unité de masse, e
2 B 0 /m est l’unité de courant
électrique, m/eB 0 est l’unité de temps et l’unité de longueur est L, une longueur
de gradient des champs qui apparaîtra ultérieurement. Effectuons donc un changement d’unités du système international SI vers le système d’unités naturelles
du problème : SI→
m, m/eB 0 , e
2 B 0 /m, L
. Afin de développer un formalisme
de perturbations, nous introduisons les variables angle-action (J , u) construites au
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
Si nous effectuons alors la moyenne de l’action sur ces oscillations, au deuxième
ordre en V /H 0 nous obtenons une constante.
d J w
dt
= O
V
2
/H
2
0
→
d
dt
Ci
p·dq
= O
V
2
/H
2
0
Ce dernier résultat permet d’énoncer la propriété d’invariance adiabatique des actions
en présence de perturbations non résonnantes. Une étude plus approfondie du comportement de l’action permettrait de préciser le comportement de l’erreur, ici du
deuxième ordre en V /H 0 , et de démontrer que cette erreur est en fait exponentiellement faible et non simplement en V
2
/H
2
0 . Ce comportement exponentiel confère
à l’action une robustesse aux perturbations allant au delà de ce que prédit la théorie
que nous venons de développer ici.
10.3.2 Dérives et forces séculaires
Dans ce paragraphe nous allons illustrer les méthodes précédentes dans le cadre de
plusieurs problèmes spécifiques et présenter un ensemble de résultats sur les dérives
et forces séculaires dans le contexte de l’interaction entre un champ électromagnétique et une particule chargée. Certains de ces résultats, tels ceux relatifs aux dérives
de gradient et à la force diamagnétique, peuvent être obtenus à l’aide de méthodes
non canoniques ; l’intérêt des méthodes canoniques, présentées et utilisées ici, est
de pouvoir envisager de travailler à des ordres plus élevés et sur des champs plus
complexes.
Les résultats de la théorie des perturbations adiabatiques nécessitent l’identification
d’un hamiltonien non perturbé H 0 , intégrable et dominant, et d’une perturbation V
non intégrable telle que H 0 V . Nous allons, dans un premier temps, construire le
cadre de cette séparation. Soit donc une particule chargée de masse m et de charge e.
Repérons sa position par le vecteur position r = x e x + y e y + z e z et sa vitesse par
le vecteur vitesse v = v x e x + v y e y + v z e z où
e x , e y , e z
est une base cartésienne
orthonormée directe. Cette particule chargée est plongée dans un champ magnétique
uniforme B dérivant du potentiel vecteur A 0 .
B = B 0 e z ← A 0 = −B 0 y e x
Dans le cadre d’une description hamiltonienne de la dynamique de cette particule,
introduisons p = p x e x + p y e y + P e z le moment canoniquement conjugué à
la position r. L’emploi d’un système d’unités naturelles simplifie l’étude de ce
mouvement intégrable : m est l’unité de masse, e
2 B 0 /m est l’unité de courant
électrique, m/eB 0 est l’unité de temps et l’unité de longueur est L, une longueur
de gradient des champs qui apparaîtra ultérieurement. Effectuons donc un changement d’unités du système international SI vers le système d’unités naturelles
du problème : SI→
m, m/eB 0 , e
2 B 0 /m, L
. Afin de développer un formalisme
de perturbations, nous introduisons les variables angle-action (J , u) construites au
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit