10.3 Adiabaticité
389
W N , il peut étre construit indépendant de u.
H = H 0 (I) + V 0 (I) −
N=+∞
N=−∞
W N cos [N·u + f N ]
+
N=+∞
N=−∞
S=+∞
S=−∞
N·M·S
2
V N
N·v
V S
S·v
cos [N·u + f N ] cos [S·u + f S ]
−
N=+∞
N=−∞
NV N
N·v
cos [N·u + f N ] ·
∂V 0
∂I
+
S=+∞
S=−∞
∂V S
∂I
cos [S·u + f S ]
(10.44)
Cette expression est indépendante de u si et seulement si la somme des termes dépendants de u est nulle, c’est-à-dire, lorsque les éléments inconnus W N = O
V
2
/H
2
0
sont solutions de l’équation : H = H u . Cette équation admet une solution unique
obtenue en identifiant à zéro, terme à terme, les différents coefficients de la série de
Fourier H − −H u . Ainsi, il est possible d’exprimer W N en fonction de V N et de
démontrer l’existence d’une transformation canonique rétablissant l’intégrabilité du
système au deuxième ordre en V /H 0 1 sous l’hypothèse N·v = 0. Le nouvel
hamiltonien K = H u peut alors être explicité en fonction des nouvelles actions.
Pour ce faire introduisons les facteurs U N = V N + V −N cos
f N + f −N
, K (I) est
finalement donné par :
K (I) = H 0 + V 0 −
1
2
N=+∞
N=−∞
V N
N·v
N·
∂U N
∂I
+
1
4
N=+∞
N=−∞
V N U N
(N·v)
2
N·M·N
(10.45)
Cette formule générale constitue le résultat principal de la théorie des perturbations
adiabatiques des systèmes hamiltonien. Une procédure systématique pour étendre
ce résultat aux ordres supérieurs en V /H 0 peut être construite sous l’hypothèse
N·v = 0 ; mais la complexité de sa mise en place pratique restreint les applications aux premier et deuxième ordres présentés ici. Souvent le premier ordre apparaît suffisant pour étudier l’influence d’une perturbation sur un système. Le nouvel
hamiltonien n’est autre, alors, que la moyenne du hamiltonien perturbé sur l’angle.
K (I) = H 0 (I) + V (I, u) u + O
V
2
/H
2
0
L’action J, qui était une constante en l’absence de perturbation, oscille au premier
ordre en V /H 0 et le spectre de cette oscillation présente une somme infinie d’harmoniques des fréquences du mouvement non perturbé.
J = I−
N =0
N
V N (I)
N·v (I)
cos [N·w + f N ] + O
V
2
/H
2
0
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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W N , il peut étre construit indépendant de u.
H = H 0 (I) + V 0 (I) −
N=+∞
N=−∞
W N cos [N·u + f N ]
+
N=+∞
N=−∞
S=+∞
S=−∞
N·M·S
2
V N
N·v
V S
S·v
cos [N·u + f N ] cos [S·u + f S ]
−
N=+∞
N=−∞
NV N
N·v
cos [N·u + f N ] ·
∂V 0
∂I
+
S=+∞
S=−∞
∂V S
∂I
cos [S·u + f S ]
(10.44)
Cette expression est indépendante de u si et seulement si la somme des termes dépendants de u est nulle, c’est-à-dire, lorsque les éléments inconnus W N = O
V
2
/H
2
0
sont solutions de l’équation : H = H u . Cette équation admet une solution unique
obtenue en identifiant à zéro, terme à terme, les différents coefficients de la série de
Fourier H − −H u . Ainsi, il est possible d’exprimer W N en fonction de V N et de
démontrer l’existence d’une transformation canonique rétablissant l’intégrabilité du
système au deuxième ordre en V /H 0 1 sous l’hypothèse N·v = 0. Le nouvel
hamiltonien K = H u peut alors être explicité en fonction des nouvelles actions.
Pour ce faire introduisons les facteurs U N = V N + V −N cos
f N + f −N
, K (I) est
finalement donné par :
K (I) = H 0 + V 0 −
1
2
N=+∞
N=−∞
V N
N·v
N·
∂U N
∂I
+
1
4
N=+∞
N=−∞
V N U N
(N·v)
2
N·M·N
(10.45)
Cette formule générale constitue le résultat principal de la théorie des perturbations
adiabatiques des systèmes hamiltonien. Une procédure systématique pour étendre
ce résultat aux ordres supérieurs en V /H 0 peut être construite sous l’hypothèse
N·v = 0 ; mais la complexité de sa mise en place pratique restreint les applications aux premier et deuxième ordres présentés ici. Souvent le premier ordre apparaît suffisant pour étudier l’influence d’une perturbation sur un système. Le nouvel
hamiltonien n’est autre, alors, que la moyenne du hamiltonien perturbé sur l’angle.
K (I) = H 0 (I) + V (I, u) u + O
V
2
/H
2
0
L’action J, qui était une constante en l’absence de perturbation, oscille au premier
ordre en V /H 0 et le spectre de cette oscillation présente une somme infinie d’harmoniques des fréquences du mouvement non perturbé.
J = I−
N =0
N
V N (I)
N·v (I)
cos [N·w + f N ] + O
V
2
/H
2
0
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit