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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
premier ordre en V /H 0 ; cette composante n’est autre que la valeur moyenne de
la perturbation : V 0 (J) =
2p
0
V (J, u) du/2p = V (I, u) u . Pour construire la
transformation canonique permettant de rendre le système intégrable, aux premier et
deuxième ordres en V /H 0 , et identifier les nouvelles variables actions-angles [I, w],
considérons une fonction génératrice de deuxième espèce F 2 construite sur la base
d’un ensemble de fonctions inconnues W N (I) = O
V
2
/H
2
0
.
F 2 (u, I) = I·u−
N=+∞
N=−∞
V N (I) + W N (I)
N·v (I)
sin [N·u + f N ]
(10.42)
L’hypothèse d’adiabaticité est ici explicitement utilisée : N·v (I) = 0. Les formules de génération canonique (Tableau 10.2) associées aux fonctions génératrices
de deuxième espèce permettent d’établir les relations :
w =
∂ F 2
∂I
,
J =
∂ F 2
∂u
,
K (I) = H (J, u)
Les nouvelles variables canoniques [I, w] peuvent être ainsi exprimées en fonction
des anciennes variables canoniques [J, u].
w = u−
N=+∞
N=−∞
∂
∂I
V N + W N
N·v
sin [N·u + f N ]
I = J+
N=+∞
N=−∞
N
V N + W N
N·v
cos [N·u + f N ]
(10.43)
Ensuite, le nouvel hamiltonien K peut être développé au même ordre en V /H 0 1
sous forme d’un développement de Taylor.
H (J, u) = H 0 (I) + (J − I) ·v (I)
+
1
2
(J − I) ·M (I) · (J − I) + V (I, u) + (J − I) ·
∂V
∂J
J=I
Puis, l’expression de (J − I) en fonction de I est substituée dans ce développement
afin d’expliciter le nouvel hamiltonien et d’identifier sous quelles conditions, sur
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
premier ordre en V /H 0 ; cette composante n’est autre que la valeur moyenne de
la perturbation : V 0 (J) =
2p
0
V (J, u) du/2p = V (I, u) u . Pour construire la
transformation canonique permettant de rendre le système intégrable, aux premier et
deuxième ordres en V /H 0 , et identifier les nouvelles variables actions-angles [I, w],
considérons une fonction génératrice de deuxième espèce F 2 construite sur la base
d’un ensemble de fonctions inconnues W N (I) = O
V
2
/H
2
0
.
F 2 (u, I) = I·u−
N=+∞
N=−∞
V N (I) + W N (I)
N·v (I)
sin [N·u + f N ]
(10.42)
L’hypothèse d’adiabaticité est ici explicitement utilisée : N·v (I) = 0. Les formules de génération canonique (Tableau 10.2) associées aux fonctions génératrices
de deuxième espèce permettent d’établir les relations :
w =
∂ F 2
∂I
,
J =
∂ F 2
∂u
,
K (I) = H (J, u)
Les nouvelles variables canoniques [I, w] peuvent être ainsi exprimées en fonction
des anciennes variables canoniques [J, u].
w = u−
N=+∞
N=−∞
∂
∂I
V N + W N
N·v
sin [N·u + f N ]
I = J+
N=+∞
N=−∞
N
V N + W N
N·v
cos [N·u + f N ]
(10.43)
Ensuite, le nouvel hamiltonien K peut être développé au même ordre en V /H 0 1
sous forme d’un développement de Taylor.
H (J, u) = H 0 (I) + (J − I) ·v (I)
+
1
2
(J − I) ·M (I) · (J − I) + V (I, u) + (J − I) ·
∂V
∂J
J=I
Puis, l’expression de (J − I) en fonction de I est substituée dans ce développement
afin d’expliciter le nouvel hamiltonien et d’identifier sous quelles conditions, sur
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit