10.3 Adiabaticité
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c’est-à-dire lorsque V ne génèrera pas des harmoniques possédant des échelles
de temps (fréquences) multiples des échelles de temps associées à la partie intégrables. Ce régime adiabatique est donc caractérisé par l’absence de résonances
telles qu’il existe un triplet d’entiers N = (N 1 , N 1 , N 1 ) vérifiant une relation du
type : N·v (J) = N 1 v 1 (J) + N 2 v 2 (J) + N 3 v 3 (J) = 0 où v (J) = ∂ H 0 /∂J.
• Le deuxième régime de perturbation est le régime résonnant caractérisé
par un fort couplage entre les degrés de liberté, couplage dû à l’apparition
d’échelles de temps similaires caractérisant la dynamique de ces différents
degrés de liberté ; ce type de couplage résonnant, tel que des resonances
N·v (J) = N 1 v 1 (J) + N 2 v 2 (J) + N 3 v 3 (J) = 0 soient présentes dans la
perturbation V , permet des transferts significatifs d’impulsion-énergie entre les
degrés de liberté.
• Enfin, lorsque plusieurs résonances sont présentes, le comportement du système
dynamique devient chaotique au delà d’un certain seuil de l’amplitude de la perturbation. Ces deux derniers régimes, résonnants et chaotiques, seront étudiés dans
les paragraphes suivants.
10.3.1 Perturbations adiabatiques
Afin d’étudier le régime adiabatique de perturbation d’un système intégrable, considérons un système décrit par le hamiltonien : H (J, u) = H 0 (J)+V (J, u) voisin d’un
système intégrable décrit par le hamiltonien H 0 (V H 0 ). Introduisons les pulsations du mouvement non perturbé v ainsi que la matrice de masse M
−1 associées à
ce mouvement intégrable.
v (J) ≡
∂ H 0
∂J
,
M (J) ≡
∂
2 H 0
∂J∂J
(10.40)
Effectuons une transformation canonique et cherchons un nouveau système de
variables actions et angles (I, w) tel que le nouvel hamiltonien K soit intégrable au
deuxième ordre en V /H 0 1, c’est-à-dire tel que K ne dépende que des nouvelles
actions I.
[J, u] → [I, w] ,
H (J, u) → K (I) + O
V
3
/H
3
0
Les variables angles effectuant des mouvements de rotation uniforme prennent
leurs valeurs physiques sur [0, 2p]. Les quantités physiques telle la perturbation V
sont donc nécessairement des fonctions périodiques des angles, ainsi, ces quantités
peuvent être représentées et analysées sous forme d’un développement de Fourier.
V (J, u) = V 0 (J) +
N=+∞
N=−∞
V N (J) cos [N·u + f N ]
(10.41)
Nous avons isolé la composante N = (0, 0, 0) de ce développement en série de
Fourier, V 0 (J), car elle joue un rôle majeur dans la théorie des perturbations au
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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c’est-à-dire lorsque V ne génèrera pas des harmoniques possédant des échelles
de temps (fréquences) multiples des échelles de temps associées à la partie intégrables. Ce régime adiabatique est donc caractérisé par l’absence de résonances
telles qu’il existe un triplet d’entiers N = (N 1 , N 1 , N 1 ) vérifiant une relation du
type : N·v (J) = N 1 v 1 (J) + N 2 v 2 (J) + N 3 v 3 (J) = 0 où v (J) = ∂ H 0 /∂J.
• Le deuxième régime de perturbation est le régime résonnant caractérisé
par un fort couplage entre les degrés de liberté, couplage dû à l’apparition
d’échelles de temps similaires caractérisant la dynamique de ces différents
degrés de liberté ; ce type de couplage résonnant, tel que des resonances
N·v (J) = N 1 v 1 (J) + N 2 v 2 (J) + N 3 v 3 (J) = 0 soient présentes dans la
perturbation V , permet des transferts significatifs d’impulsion-énergie entre les
degrés de liberté.
• Enfin, lorsque plusieurs résonances sont présentes, le comportement du système
dynamique devient chaotique au delà d’un certain seuil de l’amplitude de la perturbation. Ces deux derniers régimes, résonnants et chaotiques, seront étudiés dans
les paragraphes suivants.
10.3.1 Perturbations adiabatiques
Afin d’étudier le régime adiabatique de perturbation d’un système intégrable, considérons un système décrit par le hamiltonien : H (J, u) = H 0 (J)+V (J, u) voisin d’un
système intégrable décrit par le hamiltonien H 0 (V H 0 ). Introduisons les pulsations du mouvement non perturbé v ainsi que la matrice de masse M
−1 associées à
ce mouvement intégrable.
v (J) ≡
∂ H 0
∂J
,
M (J) ≡
∂
2 H 0
∂J∂J
(10.40)
Effectuons une transformation canonique et cherchons un nouveau système de
variables actions et angles (I, w) tel que le nouvel hamiltonien K soit intégrable au
deuxième ordre en V /H 0 1, c’est-à-dire tel que K ne dépende que des nouvelles
actions I.
[J, u] → [I, w] ,
H (J, u) → K (I) + O
V
3
/H
3
0
Les variables angles effectuant des mouvements de rotation uniforme prennent
leurs valeurs physiques sur [0, 2p]. Les quantités physiques telle la perturbation V
sont donc nécessairement des fonctions périodiques des angles, ainsi, ces quantités
peuvent être représentées et analysées sous forme d’un développement de Fourier.
V (J, u) = V 0 (J) +
N=+∞
N=−∞
V N (J) cos [N·u + f N ]
(10.41)
Nous avons isolé la composante N = (0, 0, 0) de ce développement en série de
Fourier, V 0 (J), car elle joue un rôle majeur dans la théorie des perturbations au
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit