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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
(cette oscillation est anharmonique car le temps propre n’est pas une fonction
linéaire du temps) et d’une oscillation le long de la direction de propagation de
l’onde (cette deuxième oscillation, en fonction du temps propre, s’effectue à
l’harmonique deux de l’oscillation électrique). L’énergie stockée dans l’oscillation est essentiellement de nature réactive, les échanges de puissance active
s’effectuent au niveau des actions décrivant la translation.
10.3 ADIABATICITÉ
Le formalisme hamiltonien est adapté à l’étude des systèmes multiplement périodiques à travers l’utilisation des variables actions et angles qui séparent les composantes lentes et rapides du mouvement. En effet, les variables d’action constituent une
combinaison des positions et vitesses des différents degrés de liberté dont les variations se compensent mutuellement. On identifie ainsi les parties lentes (constantes)
du mouvement ; la partie rapide du mouvement se retrouve isolée dans les variables
d’angles qui sont des combinaisons des positions et vitesses dont la dynamique est
une rotation uniforme.
Un telle séparation des composantes lentes et rapides de la dynamique d’un système
n’est possible que sur la base de l’expression des variables angles et actions ; nous
avons précisément défini les systèmes intégrables comme les systèmes possédant
cette propriété. La question est donc de savoir si, au delà des quatre exemples présentés dans le paragraphe précédent, il existe une procédure systématique de construction des variables angles et actions pour un système dynamique quelconque.
La réponse est négative, l’ensemble des systèmes intégrables est de mesure nulle
dans l’ensemble des systèmes hamiltoniens ; ceci signifie que, si nous considérons
l’ensemble des systèmes hamiltoniens et en tirons un au hasard, la probabilité qu’il
soit intégrable est nulle.
Néanmoins, malgré leur rareté, les systèmes intégrables constituent l’outil de
référence pour l’étude des systèmes hamiltoniens. Dans de nombreux cas, en
présence d’un système non intégrable donné, il est possible d’identifier un système
intégrable voisin de ce système donné ; par voisin nous entendons la possibilité de
séparer le hamiltonien H du système en deux parties : une partie représentant un
système intégrable H 0 (J) pour lequel nous disposons de l’expression du jeu de
variables canoniques angles-actions (J, u) et une partie non intégrable V (J, u) :
H = H 0 (J) + V (J, u). Cette représentation doit en outre vérifier un ordering
justifiant un traitement perturbatif de la partie non intégrable : |V (J, u)| | |H 0 (J)|.
Pour ces systèmes voisins d’un système intégrable trois régimes de perturbation
peuvent alors être distingués.
• Le régime adiabatique, lorsque le hamiltonien perturbateur n’introduit pas de couplages résonnants entre les différents degrés de liberté du système intégrable,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
(cette oscillation est anharmonique car le temps propre n’est pas une fonction
linéaire du temps) et d’une oscillation le long de la direction de propagation de
l’onde (cette deuxième oscillation, en fonction du temps propre, s’effectue à
l’harmonique deux de l’oscillation électrique). L’énergie stockée dans l’oscillation est essentiellement de nature réactive, les échanges de puissance active
s’effectuent au niveau des actions décrivant la translation.
10.3 ADIABATICITÉ
Le formalisme hamiltonien est adapté à l’étude des systèmes multiplement périodiques à travers l’utilisation des variables actions et angles qui séparent les composantes lentes et rapides du mouvement. En effet, les variables d’action constituent une
combinaison des positions et vitesses des différents degrés de liberté dont les variations se compensent mutuellement. On identifie ainsi les parties lentes (constantes)
du mouvement ; la partie rapide du mouvement se retrouve isolée dans les variables
d’angles qui sont des combinaisons des positions et vitesses dont la dynamique est
une rotation uniforme.
Un telle séparation des composantes lentes et rapides de la dynamique d’un système
n’est possible que sur la base de l’expression des variables angles et actions ; nous
avons précisément défini les systèmes intégrables comme les systèmes possédant
cette propriété. La question est donc de savoir si, au delà des quatre exemples présentés dans le paragraphe précédent, il existe une procédure systématique de construction des variables angles et actions pour un système dynamique quelconque.
La réponse est négative, l’ensemble des systèmes intégrables est de mesure nulle
dans l’ensemble des systèmes hamiltoniens ; ceci signifie que, si nous considérons
l’ensemble des systèmes hamiltoniens et en tirons un au hasard, la probabilité qu’il
soit intégrable est nulle.
Néanmoins, malgré leur rareté, les systèmes intégrables constituent l’outil de
référence pour l’étude des systèmes hamiltoniens. Dans de nombreux cas, en
présence d’un système non intégrable donné, il est possible d’identifier un système
intégrable voisin de ce système donné ; par voisin nous entendons la possibilité de
séparer le hamiltonien H du système en deux parties : une partie représentant un
système intégrable H 0 (J) pour lequel nous disposons de l’expression du jeu de
variables canoniques angles-actions (J, u) et une partie non intégrable V (J, u) :
H = H 0 (J) + V (J, u). Cette représentation doit en outre vérifier un ordering
justifiant un traitement perturbatif de la partie non intégrable : |V (J, u)| | |H 0 (J)|.
Pour ces systèmes voisins d’un système intégrable trois régimes de perturbation
peuvent alors être distingués.
• Le régime adiabatique, lorsque le hamiltonien perturbateur n’introduit pas de couplages résonnants entre les différents degrés de liberté du système intégrable,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit