10.2 Intégrabilité
385
On notera que les actions ne sont autres que les valeurs moyennes des moments
canoniques P ⊥ = p y , P = p x , P = p z , E = g. Les angles peuvent être
exprimés explicitement en fonction des positions et du temps mais une telle expression nécessite la sommation d’une double série de fonctions de Bessel ; en revanche,
l’expression des positions en fonction des actions est explicite
y = u +
A
P − E
sin (w + f)
x = w −
AP ⊥
P − E
2 sin (w + f) −
A
2
8
P − E
2 sin (2w + 2f)
t = −f −
AP ⊥
P − E
2 sin (w + f) −
A
2
8
P − E
2 sin (2w + 2f)
et permet d’obtenir par élimination l’expression du hamiltonien.
H = 1 +
A
2
2
+ P
2
⊥ + P
2
+ P
2
− E
2
(10.39)
y
A cos(x – t)
A 2
—
4M 2
x
P ⊥
P //
Figure 10.12 Variables angles-actions décrivant l’interaction relativiste laser-particule.
Les équations de Hamilton dérivant de ce hamiltonien impliquent l’invariance des
actions, c’est-à-dire de la valeur moyenne des impulsions. Les angles effectuent un
mouvement de rotation uniforme en fonction du temps s, c’est-à-dire en fonction du
temps propre.
L’orbite d’une particule chargée dans une onde est donc la superposition d’une
translation uniforme, d’une oscillation dans la direction du champ électrique
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