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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
est une fonction du temps il est toujours possible de construire un problème équivalent indépendant du temps. Cette construction s’articule autour d’une extension de
l’espace des phases, le temps et (moins) l’énergie sont considérés comme un couple
de variables canoniquement conjuguées supplémentaires
p x , p y , p z
, (x, y, z)
→
p x , p y , p z , −g
, (x, y, z, t)
et le système est supposé évoluer en fonction d’un
temps fictif s, conformément aux équations de Hamilton associées au nouvel hamiltonien H .
H (p, g, r, t) = 1 + [p + A (r, t)]
2
− g
2
(10.37)
En effet, les équations de Hamilton associées à ce hamiltonien dans l’espace des
phases étendu [(p, −g) , (r, t)] :
dp
ds
= −
∂ H
∂r
,
dr
ds
=
∂ H
∂p
,
dg
ds
=
∂ H
∂t
,
dt
ds
= −
∂ H
∂g
sont équivalentes aux équations du mouvement dérivant du hamiltonien original
(10.36) si l’étude de la dynamique est restreinte à l’hypersurface H = 0 dans l’espace des phases étendu.
dp
dt
=
∂ H
∂r
∂ H
∂g
H =0
= −
∂h
∂r
,
dr
dt
= −
∂ H
∂p
∂ H
∂g
H =0
=
∂h
∂p
Le hamiltonien (10.37) est donc pertinent pour décrire l’orbite d’une particule chargée interagissant avec une onde électromagnétique en régime relativiste. Afin d’entreprendre cette description et d’identifier les échelles lentes et rapides du mouvement nous allons effectuer une transformation canonique pour exprimer les variables
angles-actions décrivant la dynamique de ce mouvement intégrable.
p x , p y , p z , −g
, (x, y, z, t)
→
P , P ⊥ , P, E
, (w, u, z, f)
La fonction génératrice de deuxième espèce F 2
P ⊥ , P , P, E, x, y, z, t
est introduite à cette fin.
F 2 = P ⊥ y + P x + Pz − Et −
P ⊥ A
P − E
sin (x − t) −
A
2
8P − 8E
sin (2x − 2t)
Les anciens et nouveaux moments sont donc donnés par les règles de génération
canonique (10.2) : p = ∂ F 2 /∂q et u = ∂ F 2 /∂P.
p y = P ⊥ ,
p z = P
p x = P −
AP ⊥
P − E
cos (w + f) −
A
2
4P − 4E
cos (2w + 2f)
g = E −
AP ⊥
P − E
cos (w + f) −
A
2
4P − 4E
cos (2w + 2f)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
est une fonction du temps il est toujours possible de construire un problème équivalent indépendant du temps. Cette construction s’articule autour d’une extension de
l’espace des phases, le temps et (moins) l’énergie sont considérés comme un couple
de variables canoniquement conjuguées supplémentaires
p x , p y , p z
, (x, y, z)
→
p x , p y , p z , −g
, (x, y, z, t)
et le système est supposé évoluer en fonction d’un
temps fictif s, conformément aux équations de Hamilton associées au nouvel hamiltonien H .
H (p, g, r, t) = 1 + [p + A (r, t)]
2
− g
2
(10.37)
En effet, les équations de Hamilton associées à ce hamiltonien dans l’espace des
phases étendu [(p, −g) , (r, t)] :
dp
ds
= −
∂ H
∂r
,
dr
ds
=
∂ H
∂p
,
dg
ds
=
∂ H
∂t
,
dt
ds
= −
∂ H
∂g
sont équivalentes aux équations du mouvement dérivant du hamiltonien original
(10.36) si l’étude de la dynamique est restreinte à l’hypersurface H = 0 dans l’espace des phases étendu.
dp
dt
=
∂ H
∂r
∂ H
∂g
H =0
= −
∂h
∂r
,
dr
dt
= −
∂ H
∂p
∂ H
∂g
H =0
=
∂h
∂p
Le hamiltonien (10.37) est donc pertinent pour décrire l’orbite d’une particule chargée interagissant avec une onde électromagnétique en régime relativiste. Afin d’entreprendre cette description et d’identifier les échelles lentes et rapides du mouvement nous allons effectuer une transformation canonique pour exprimer les variables
angles-actions décrivant la dynamique de ce mouvement intégrable.
p x , p y , p z , −g
, (x, y, z, t)
→
P , P ⊥ , P, E
, (w, u, z, f)
La fonction génératrice de deuxième espèce F 2
P ⊥ , P , P, E, x, y, z, t
est introduite à cette fin.
F 2 = P ⊥ y + P x + Pz − Et −
P ⊥ A
P − E
sin (x − t) −
A
2
8P − 8E
sin (2x − 2t)
Les anciens et nouveaux moments sont donc donnés par les règles de génération
canonique (10.2) : p = ∂ F 2 /∂q et u = ∂ F 2 /∂P.
p y = P ⊥ ,
p z = P
p x = P −
AP ⊥
P − E
cos (w + f) −
A
2
4P − 4E
cos (2w + 2f)
g = E −
AP ⊥
P − E
cos (w + f) −
A
2
4P − 4E
cos (2w + 2f)
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