10.2 Intégrabilité
383
Enfin, le hamiltonien de cette particule chargée interagissant avec un champ magnétique, homogène et statique, s’exprime comme :
H = J +
P
2
2
(10.35)
Les variables angles-actions associées au mouvement d’une particule chargée
interagissant avec un champ magnétique uniforme statique ainsi déterminées, les
équations de Hamilton dérivant du hamiltonien (10.35) : du/dt = 1, dw/dt = 0,
dz/dt = P, confirment le résultat classique : le mouvement d’une particule chargée
dans un champ magnétique est la combinaison d’une rotation uniforme autour des
lignes de champ, appelée rotation cyclotronique, et d’une translation uniforme le
long des lignes de champ. L’objectif du formalisme hamiltonien n’est bien entendu
pas restreint à cette confirmation ; nous verrons dans les paragraphes consacrés
à l’adiabaticité et aux résonances que l’identification de (J , D) et (u, w) permet
d’aborder et de résoudre des problèmes d’interactions en champs complexes situés
hors du champ d’application classique de la mécanique newtonienne.
L’étude du mouvement d’une particule chargée interagissant avec une OPMH se propageant dans le vide est un problème récurrent dans le contexte de l’interaction laserplasma. Ce problème est aussi intégrable au sens de Poincaré et l’identification des
variables angles-actions est présenté ici. Ce problème constitue aussi un exemple
de la pertinence du formalisme hamiltonien pour séparer les échelles lente et rapide
d’un mouvement en régime relativiste. Considérons donc un électron de charge −e
décrit par sa position r = x e x + y e y + z e z et sa vitesse v = v x e x + v y e y + v z e z
où
e x , e y , e z
est une base cartésienne orthonormée directe. Cet électron est soumis
à l’influence d’une OPMH, de champ électrique E et de champ magnétique B, se
propageant suivant l’axe des x et oscillant à la pulsation v.
E (r, t) = Av sin v
x
c
− t
e y , B (r, t) =
Av
c
sin v
x
c
− t
e z
où c est la vitesse de la lumière dans le vide. Ce champ électromagnétique dérive du
potentiel vecteur A.
A (r, t) = A cos v
x
c
− t
e y
Introduisons le moment p canoniquement conjugué à la position r : p = p x e x + p y
e y + p z e z ainsi que le hamiltonien h de cette particule chargée.
h (p, r, t) = mc
2
g =
m 2 c 4 + (p+eA)
2 c 2
(10.36)
L’utilisation d’un système d’unités naturelles simplifie l’étude de ce mouvement intégrable : m est l’unité de masse, ev est l’unité de courant électrique, 1/v est l’unité de
temps et c/v l’unité de longueur : SI →
m, ev, 1/v, c/v
. Lorsque le hamiltonien
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Enfin, le hamiltonien de cette particule chargée interagissant avec un champ magnétique, homogène et statique, s’exprime comme :
H = J +
P
2
2
(10.35)
Les variables angles-actions associées au mouvement d’une particule chargée
interagissant avec un champ magnétique uniforme statique ainsi déterminées, les
équations de Hamilton dérivant du hamiltonien (10.35) : du/dt = 1, dw/dt = 0,
dz/dt = P, confirment le résultat classique : le mouvement d’une particule chargée
dans un champ magnétique est la combinaison d’une rotation uniforme autour des
lignes de champ, appelée rotation cyclotronique, et d’une translation uniforme le
long des lignes de champ. L’objectif du formalisme hamiltonien n’est bien entendu
pas restreint à cette confirmation ; nous verrons dans les paragraphes consacrés
à l’adiabaticité et aux résonances que l’identification de (J , D) et (u, w) permet
d’aborder et de résoudre des problèmes d’interactions en champs complexes situés
hors du champ d’application classique de la mécanique newtonienne.
L’étude du mouvement d’une particule chargée interagissant avec une OPMH se propageant dans le vide est un problème récurrent dans le contexte de l’interaction laserplasma. Ce problème est aussi intégrable au sens de Poincaré et l’identification des
variables angles-actions est présenté ici. Ce problème constitue aussi un exemple
de la pertinence du formalisme hamiltonien pour séparer les échelles lente et rapide
d’un mouvement en régime relativiste. Considérons donc un électron de charge −e
décrit par sa position r = x e x + y e y + z e z et sa vitesse v = v x e x + v y e y + v z e z
où
e x , e y , e z
est une base cartésienne orthonormée directe. Cet électron est soumis
à l’influence d’une OPMH, de champ électrique E et de champ magnétique B, se
propageant suivant l’axe des x et oscillant à la pulsation v.
E (r, t) = Av sin v
x
c
− t
e y , B (r, t) =
Av
c
sin v
x
c
− t
e z
où c est la vitesse de la lumière dans le vide. Ce champ électromagnétique dérive du
potentiel vecteur A.
A (r, t) = A cos v
x
c
− t
e y
Introduisons le moment p canoniquement conjugué à la position r : p = p x e x + p y
e y + p z e z ainsi que le hamiltonien h de cette particule chargée.
h (p, r, t) = mc
2
g =
m 2 c 4 + (p+eA)
2 c 2
(10.36)
L’utilisation d’un système d’unités naturelles simplifie l’étude de ce mouvement intégrable : m est l’unité de masse, ev est l’unité de courant électrique, 1/v est l’unité de
temps et c/v l’unité de longueur : SI →
m, ev, 1/v, c/v
. Lorsque le hamiltonien
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit