382
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
La première transformation canonique
p x , p y
, (x, y)
→ [(J , X ) , (u, Y )] est
générée par la fonction génératrice de première espèce F 1 (x, y, u, Y ).
F 1 (x, y, u, Y ) = −
1
2
(y − Y )
2 tan u − xY
(10.32)
Les anciens et nouveaux moments sont donnés par les règles de génération canonique
(10.2) :
p x =
∂ F 1
∂x
= −Y ,
p y =
∂ F 1
∂ y
= − (y − Y ) tan u
J = −
∂ F 1
∂u
=
(y − Y )
2
2 cos 2 u
,
X = −
∂ F 1
∂Y
= − (y − Y ) tan u + x
permettant d’obtenir par élimination l’expression de la position :
x = X +
√
2J sin u,
y = Y +
√
2J cos u
(10.33)
où X et Y sont les positions du centre guide (Figure 10.11). La vitesse s’exprime
aussi en fonction de J et de u, l’angle cyclotronique : v = p − A 0 =
√
2J cos u
e x −
√
2J sin u e y + P e z . Dans de nombreux problèmes présentant une symétrie
cylindrique il est avantageux d’exprimer la position du centre guide de la particule en
coordonnées cylindriques (D, w) à l’aide d’une deuxième transformation canonique
[(X ) , (Y )] → [(D) , (w)] générée par la fonction génératrice de première espèce
G 1 (Y , w).
G 1 (Y , w) =
1
2
Y
2 cot w → X =
∂G 1
∂Y
= Y cot w,
D = −
∂G 1
∂w
=
Y
2
2 sin
2
w
L’expression finale de la position de la particule en fonction de l’angle cyclotronique
et de l’angle polaire du centre guide est donnée par :
x =
√
2D cos w +
√
2J sin u,
y =
√
2D sin w +
√
2J cos u
(10.34)
x
y
2J
ϕ
θ
2 D
Y
X
B
Figure 10.11 Variables angles-actions décrivant le mouvement cyclotronique.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit