10.2 Intégrabilité
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formules (10.31). Une analyse asymptotique de la période du mouvement au voisinage de la séparatrice est possible et le résultat : V S (H ) → 2pV/
log
H − V
2
quand H → V
2 , prédit une divergence logarithmique de la période à l’approche de
la séparatrice. Nous verrons dans la partie consacrée au chaos (§ 10.5) que la lenteur
du mouvement au voisinage de la séparatrice rend cet ensemble d’orbites extrêmement sensible aux perturbations et donc structurellement fragile ; dans un scénario
de transition vers le chaos par croissance d’une perturbation appropriée cet ensemble
d’orbites est le premier à présenter un comportement chaotique.
Le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique, statique et homogène, est un problème intégrable. Dans ce paragraphe nous allons construire les
variables angles-actions pour ce système. L’analyse présentée ici constitue la base
de toutes les études sur le confinement dans des structures magnétiques complexes.
Une étude approfondie de ce problème du confinement magnétique sera présentée
dans le paragraphe consacré à l’adiabaticité.
Considérons une particule de masse m et de charge e interagissant avec un champ
magnétique B homogène et stationnaire. La dynamique de cette particule chargée
est décrite par l’évolution de sa position r = x e x + y e y + z e z et de sa vitesse
v = v x e x + v y e y + v z e z au cours du temps où
e x , e y , e z
est une base cartésienne
orthonormée directe. Le champ magnétique B dérive du potentiel vecteur A 0 .
B = B 0 e z ← A 0 = −B 0 y e x
Introduisons le moment p canoniquement conjugué à la position r : p = v+eA 0 = p x
e x + p y e y + P e z , ainsi que le hamiltonien H de cette particule chargée interagissant
avec le champ magnétique uniforme B.
H =
m
2
v
2
=
1
2m
(p−eA 0 )
2
Ce système possède les caractéristiques physiques d’un oscillateur linéaire, mais
avec la différence notable que le couplage n’est pas un potentiel scalaire quadratique
mais un potentiel vecteur linéaire. L’utilisation d’un système d’unités naturelles simplifie l’étude de ce mouvement intégrable ; m est l’unité naturelle de masse, e
2 B 0 /m
est l’unité naturelle de courant électrique et m/eB 0 est l’unité naturelle de temps.
Nous effectuons donc un changement d’unités du système international SI vers le
système d’unités naturelles du problème : SI →
m, m/eB 0 , e
2 B 0 /m
. Nous allons
ensuite construire deux transformations canoniques afin d’identifier et d’exprimer les
variables angles-actions [(J , D, P) , (u, w, z)] séparant les parties lente et rapide du
mouvement.
p x , p y
, (x, y)
→ [(J , X ) , (u, Y )] → [(J , D) , (u, w)]
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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formules (10.31). Une analyse asymptotique de la période du mouvement au voisinage de la séparatrice est possible et le résultat : V S (H ) → 2pV/
log
H − V
2
quand H → V
2 , prédit une divergence logarithmique de la période à l’approche de
la séparatrice. Nous verrons dans la partie consacrée au chaos (§ 10.5) que la lenteur
du mouvement au voisinage de la séparatrice rend cet ensemble d’orbites extrêmement sensible aux perturbations et donc structurellement fragile ; dans un scénario
de transition vers le chaos par croissance d’une perturbation appropriée cet ensemble
d’orbites est le premier à présenter un comportement chaotique.
Le mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique, statique et homogène, est un problème intégrable. Dans ce paragraphe nous allons construire les
variables angles-actions pour ce système. L’analyse présentée ici constitue la base
de toutes les études sur le confinement dans des structures magnétiques complexes.
Une étude approfondie de ce problème du confinement magnétique sera présentée
dans le paragraphe consacré à l’adiabaticité.
Considérons une particule de masse m et de charge e interagissant avec un champ
magnétique B homogène et stationnaire. La dynamique de cette particule chargée
est décrite par l’évolution de sa position r = x e x + y e y + z e z et de sa vitesse
v = v x e x + v y e y + v z e z au cours du temps où
e x , e y , e z
est une base cartésienne
orthonormée directe. Le champ magnétique B dérive du potentiel vecteur A 0 .
B = B 0 e z ← A 0 = −B 0 y e x
Introduisons le moment p canoniquement conjugué à la position r : p = v+eA 0 = p x
e x + p y e y + P e z , ainsi que le hamiltonien H de cette particule chargée interagissant
avec le champ magnétique uniforme B.
H =
m
2
v
2
=
1
2m
(p−eA 0 )
2
Ce système possède les caractéristiques physiques d’un oscillateur linéaire, mais
avec la différence notable que le couplage n’est pas un potentiel scalaire quadratique
mais un potentiel vecteur linéaire. L’utilisation d’un système d’unités naturelles simplifie l’étude de ce mouvement intégrable ; m est l’unité naturelle de masse, e
2 B 0 /m
est l’unité naturelle de courant électrique et m/eB 0 est l’unité naturelle de temps.
Nous effectuons donc un changement d’unités du système international SI vers le
système d’unités naturelles du problème : SI →
m, m/eB 0 , e
2 B 0 /m
. Nous allons
ensuite construire deux transformations canoniques afin d’identifier et d’exprimer les
variables angles-actions [(J , D, P) , (u, w, z)] séparant les parties lente et rapide du
mouvement.
p x , p y
, (x, y)
→ [(J , X ) , (u, Y )] → [(J , D) , (u, w)]
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit