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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
développement de Taylor.
H =
1
2
I
2 + V
2
w
2
2!
−
w
4
4!
+
w
6
6!
+ ...
Lorsque ce développement est restreint à sa partie quadratique, le potentiel est celui
d’un oscillateur linéaire et les orbites au voisinage du point O sont donc des oscillations harmoniques : I O (t) ≈ I cos (V (t − t 0 )), w O (t) ≈
I
V
sin (V (t − t 0 )).
I
ϕ
Ω
2
H>
ΔI =
4Ω
Ω
2
Ω
2
Rotations
Librations
S
Figure 10.10 Portrait de phase du pendule non-linéaire.
Le cas des oscillations de plus grande amplitude peut être étudié en introduisant
les variables angle-action de l’oscillateur linéaire (10.26) : w =
2J /V sin u,
I =
√
2J V cos u. Le hamiltonien dans la zone piégée, mais non nécessairement au
voisinage immédiat du point O, est alors donné par :
H = VJ −
4J
2
4!
sin
4
u +
8J
3
6!V
sin
6
u + ... → →H u = VJ −
J
2
16
+
J
3
288V
+ ...
Dans le chapitre suivant nous verrons que c’est la partie moyenne sur u de ce hamiltonien qui détermine la dynamique de la particule (10.45). Les équations de Hamilton
appliquées à cette valeur moyenne permettent de calculer la période de l’oscillation non-linéaire en fonction de l’action J . Cette formule, parfois appelée formule
d’Airy : V O (H ) → V
1 − H /8V
2 + ...
quand H → −V
2 , indique que la période
augmente avec l’amplitude du mouvement. Cette croissance est monotone jusqu’à la
séparatrice, et, au niveau de cette dernière, la période est infinie. En effet, le transit
d’un point X vers un autre point X nécessite un temps infini car la particule possède
exactement l’énergie nécessaire pour atteindre le sommet du potentiel, ainsi la phase
finale est extrêmement lente car l’énergie cinétique est épuisée à l’approche du sommet, c’est-à-dire la vitesse quasi nulle. Cette analyse qualitative est confirmée par les
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
développement de Taylor.
H =
1
2
I
2 + V
2
w
2
2!
−
w
4
4!
+
w
6
6!
+ ...
Lorsque ce développement est restreint à sa partie quadratique, le potentiel est celui
d’un oscillateur linéaire et les orbites au voisinage du point O sont donc des oscillations harmoniques : I O (t) ≈ I cos (V (t − t 0 )), w O (t) ≈
I
V
sin (V (t − t 0 )).
I
ϕ
Ω
2
H>
ΔI =
4Ω
Ω
2
Ω
2
Rotations
Librations
S
Figure 10.10 Portrait de phase du pendule non-linéaire.
Le cas des oscillations de plus grande amplitude peut être étudié en introduisant
les variables angle-action de l’oscillateur linéaire (10.26) : w =
2J /V sin u,
I =
√
2J V cos u. Le hamiltonien dans la zone piégée, mais non nécessairement au
voisinage immédiat du point O, est alors donné par :
H = VJ −
4J
2
4!
sin
4
u +
8J
3
6!V
sin
6
u + ... → →H u = VJ −
J
2
16
+
J
3
288V
+ ...
Dans le chapitre suivant nous verrons que c’est la partie moyenne sur u de ce hamiltonien qui détermine la dynamique de la particule (10.45). Les équations de Hamilton
appliquées à cette valeur moyenne permettent de calculer la période de l’oscillation non-linéaire en fonction de l’action J . Cette formule, parfois appelée formule
d’Airy : V O (H ) → V
1 − H /8V
2 + ...
quand H → −V
2 , indique que la période
augmente avec l’amplitude du mouvement. Cette croissance est monotone jusqu’à la
séparatrice, et, au niveau de cette dernière, la période est infinie. En effet, le transit
d’un point X vers un autre point X nécessite un temps infini car la particule possède
exactement l’énergie nécessaire pour atteindre le sommet du potentiel, ainsi la phase
finale est extrêmement lente car l’énergie cinétique est épuisée à l’approche du sommet, c’est-à-dire la vitesse quasi nulle. Cette analyse qualitative est confirmée par les
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit