10.2 Intégrabilité
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les valeurs admissibles de l’angle w sont restreintes afin de préserver la valeur
positive de H + V
2 cos w :
−V
2
< H < +V
2
→ (2n − 1) p < w < (2n + 1) p.
Ces orbites sont appelées piégées, la particule effectue un mouvement de libration
(Figures 10.9 et 10.10).
ϕ
–
π
–
2
π
I
π
–
2
–
π
I
2
2
Piégées
Circulantes
Ω
− Ω
Circulantes
Figure 10.9 Potentiel du pendule non-linéaire, orbites circulantes et piégées.
Dans l’espace des phases (I , w) ces deux classes d’orbites sont séparées par deux
orbites critiques d’énergie H = +V
2 , les séparatrices. La définition de ces séparatrices, I
2
/2 − V
2 cos w = V
2 , permet d’exprimer leur équation cartésienne I S (w) et
de calculer l’extension en action DI de la zone piégée (Figure 10.10), cette dernière
quantité permettra de quantifier les interactions entre résonances dans le paragraphe
consacré au chaos.
Séparatrices S : I S (w) = ±2V cos
w/2
→ DI = 4V
(10.30)
Les équations de Hamilton pour les séparatrices peuvent être résolues en éliminant
l’action dans l’équation sur l’angle.
w S (t) = 4 arctan
exp ±V (t − t 0 )
,
I S (t) = ±
2V
cosh V (t − t 0 )
(10.31)
Ces mêmes équations de Hamilton permettent d’identifier les points O et X : I X = 0,
w X = (2n + 1) p, I O = 0, w O = 2np ; l’agencement des séparatrices, des orbites
circulantes et des orbites piégées est représenté sur la figure 10.10.
Le point O correspond à la position de plus basse énergie du système : H = −V
2 ;
au voisinage de ce point O le hamiltonien peut être développé sous la forme d’un
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