378
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
donnée par :
m
dv
dt
= −eE sin (kx − vt) ,
dx
dt
= v
Introduisons les variables canoniquement conjuguées I et w, ainsi que la pulsation
V.
I = kv − v,
w = kx − vt,
V =
keE
m
L’équation de Newton prend alors une forme canonique : d I /dt = −V
2 sin w,
dw/dt = I associée au hamiltonien, dit du pendule non-linéaire, H (I , w) :
H (I , w) =
1
2
I
2
− V
2 cos w
(10.29)
Il est possible de construire un couple angle-action pour ce hamiltonien. Mais,
une telle construction fait intervenir des intégrales et fonctions èlliptiques, qui,
contrairement aux fonctions spéciales usuelles, sont d’un usage plus restreint et
d’une manipulation moins aisée. Nous n’utiliserons donc pas ce système de variables
angle-action pour analyser les caractéristiques de ce système intégrable. Nous allons
analyser les caractéristiques du mouvement du pendule non-linéaire en identifiant
d’abord les deux classes topologiques de trajectoires, puis en étudiant séparément
les caractéristiques de chacune de ces deux classes. Bien que [I , w] ne soient pas un
couple d’angle-action pour le pendule non-linéaire, par un abus de langage, justifié
et répandu, dans les chapitres suivant, nous les appellerons angle et action.
Lorsque le hamiltonien H , qui est une constante du mouvement, est beaucoup plus
grand que le carré de la pulsation V
2 , le terme de potentiel V
2 cos w est négligeable
devant le terme cinétique I
2 ; le mouvement de la particule est donc voisin d’une
rotation uniforme : H V
2
→ w = I (t − t 0 ). Les états de très haute énergie sont
donc des mouvements inertiels.
I
2 étant toujours positif la quantité H + V
2 cos w est aussi toujours positive, mais
deux cas doivent être considérés :
• Lorsque le hamiltonien est plus grand que le carré de la pulsation V
2 , alors l’angle
w peut prendre toutes les valeurs sans que le signe de H + V
2 cos w ne varie :
H > V
2
→ −∞ w +∞.
Ces orbites sont appelées circulantes et elles effectuent un mouvement de rotation
quasi-uniforme (Figure 10.9).
• Lorsque le hamiltonien est plus petit que le carré de la pulsation V
2 :
−V
2
< H < +V
2
,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
donnée par :
m
dv
dt
= −eE sin (kx − vt) ,
dx
dt
= v
Introduisons les variables canoniquement conjuguées I et w, ainsi que la pulsation
V.
I = kv − v,
w = kx − vt,
V =
keE
m
L’équation de Newton prend alors une forme canonique : d I /dt = −V
2 sin w,
dw/dt = I associée au hamiltonien, dit du pendule non-linéaire, H (I , w) :
H (I , w) =
1
2
I
2
− V
2 cos w
(10.29)
Il est possible de construire un couple angle-action pour ce hamiltonien. Mais,
une telle construction fait intervenir des intégrales et fonctions èlliptiques, qui,
contrairement aux fonctions spéciales usuelles, sont d’un usage plus restreint et
d’une manipulation moins aisée. Nous n’utiliserons donc pas ce système de variables
angle-action pour analyser les caractéristiques de ce système intégrable. Nous allons
analyser les caractéristiques du mouvement du pendule non-linéaire en identifiant
d’abord les deux classes topologiques de trajectoires, puis en étudiant séparément
les caractéristiques de chacune de ces deux classes. Bien que [I , w] ne soient pas un
couple d’angle-action pour le pendule non-linéaire, par un abus de langage, justifié
et répandu, dans les chapitres suivant, nous les appellerons angle et action.
Lorsque le hamiltonien H , qui est une constante du mouvement, est beaucoup plus
grand que le carré de la pulsation V
2 , le terme de potentiel V
2 cos w est négligeable
devant le terme cinétique I
2 ; le mouvement de la particule est donc voisin d’une
rotation uniforme : H V
2
→ w = I (t − t 0 ). Les états de très haute énergie sont
donc des mouvements inertiels.
I
2 étant toujours positif la quantité H + V
2 cos w est aussi toujours positive, mais
deux cas doivent être considérés :
• Lorsque le hamiltonien est plus grand que le carré de la pulsation V
2 , alors l’angle
w peut prendre toutes les valeurs sans que le signe de H + V
2 cos w ne varie :
H > V
2
→ −∞ w +∞.
Ces orbites sont appelées circulantes et elles effectuent un mouvement de rotation
quasi-uniforme (Figure 10.9).
• Lorsque le hamiltonien est plus petit que le carré de la pulsation V
2 :
−V
2
< H < +V
2
,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit