10.2 Intégrabilité
377
La composante oscillante est développée au premier ordre et la partie séculaire au
deuxième ordre. La valeur moyenne de la dérivée du carré du premier ordre de l’incrément périodique d’action
dJ apparaît égale au double de l’incrément séculaire
d’action dJ au deuxième ordre ; l’identité :
dJ (J 0 ) =
1
2
∂
∂J 0
dJ (J 0 )
dJ (J 0 )
u0
(10.28)
a reçu le nom de relation d’Einstein car elle traduit une relation entre mobilité et
diffusion en contexte cinétique et entre émission spontanée et induite en contexte
électrodynamique.
Cette relation sera extrêmement utile pour les calculs de transferts d’énergie dans les
problèmes d’interactions champs-particules.
10.2.4 Interactions électromagnétiques
Nous verrons dans les chapitres consacrés aux systèmes non-intégrables, en régimes
adiabatiques et résonnants, que le hamiltonien de tout système non-intégrable voisin
d’un système intégrable peut être décomposé en la somme d’un hamiltonien intégrable et d’une série de Fourier non-intégrable. L’analyse de chacune des composantes de cette série pouvant être réduite à l’analyse d’un hamiltonien effectif du
type pendule non-linéaire (10.60). Ce résultat général explique l’importance qui est
accordée à l’étude du hamiltonien du pendule non-linéaire. Ce système dynamique
est aussi l’un des plus simples dont le portrait de phase présente des points X et O et
deux classes topologiques d’orbites.
Dans ce paragraphe nous allons étudier l’interaction des particules chargées avec
des ondes électrostatiques, des champs magnétostatiques et des ondes électromagnétiques, dans le cadre d’un formalisme hamiltonien. Ces trois problèmes se rencontrent fréquemment en physique des plasmas, il sont intégrables et le formalisme
hamiltonien, à travers la construction des variables angles et actions, offre un cadre
adapté au développement de théories perturbatives et de modèles cinétiques. Pour les
cas magnétostatique et électromagnétique nous expliciterons les variables anglesactions associées à l’intégrabilité ; pour le cas de l’interaction électrostatique l’expression des variables angles-actions, associées à l’intégrabilité, étant particulièrement lourde en termes de fonctions elliptiques et de série de Fourier, il est plus
approprié de discuter la nature des différentes classes d’orbites. Nous verrons dans le
chapitre consacré au chaos qu’un calcul perturbatif est suffisant pour établir les relations de transfert d’impulsion-énergie entre une onde électrostatique et une particule
et qu’il est inutile d’utiliser les fonctions èlliptiques pour établir ce bilan d’énergieimpulsion.
Soit une particule chargée de charge e et de masse m. L’équation de Newton décrivant
l’interaction de cette particule avec une onde électrostatique −E sin (kx − vt) est
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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La composante oscillante est développée au premier ordre et la partie séculaire au
deuxième ordre. La valeur moyenne de la dérivée du carré du premier ordre de l’incrément périodique d’action
dJ apparaît égale au double de l’incrément séculaire
d’action dJ au deuxième ordre ; l’identité :
dJ (J 0 ) =
1
2
∂
∂J 0
dJ (J 0 )
dJ (J 0 )
u0
(10.28)
a reçu le nom de relation d’Einstein car elle traduit une relation entre mobilité et
diffusion en contexte cinétique et entre émission spontanée et induite en contexte
électrodynamique.
Cette relation sera extrêmement utile pour les calculs de transferts d’énergie dans les
problèmes d’interactions champs-particules.
10.2.4 Interactions électromagnétiques
Nous verrons dans les chapitres consacrés aux systèmes non-intégrables, en régimes
adiabatiques et résonnants, que le hamiltonien de tout système non-intégrable voisin
d’un système intégrable peut être décomposé en la somme d’un hamiltonien intégrable et d’une série de Fourier non-intégrable. L’analyse de chacune des composantes de cette série pouvant être réduite à l’analyse d’un hamiltonien effectif du
type pendule non-linéaire (10.60). Ce résultat général explique l’importance qui est
accordée à l’étude du hamiltonien du pendule non-linéaire. Ce système dynamique
est aussi l’un des plus simples dont le portrait de phase présente des points X et O et
deux classes topologiques d’orbites.
Dans ce paragraphe nous allons étudier l’interaction des particules chargées avec
des ondes électrostatiques, des champs magnétostatiques et des ondes électromagnétiques, dans le cadre d’un formalisme hamiltonien. Ces trois problèmes se rencontrent fréquemment en physique des plasmas, il sont intégrables et le formalisme
hamiltonien, à travers la construction des variables angles et actions, offre un cadre
adapté au développement de théories perturbatives et de modèles cinétiques. Pour les
cas magnétostatique et électromagnétique nous expliciterons les variables anglesactions associées à l’intégrabilité ; pour le cas de l’interaction électrostatique l’expression des variables angles-actions, associées à l’intégrabilité, étant particulièrement lourde en termes de fonctions elliptiques et de série de Fourier, il est plus
approprié de discuter la nature des différentes classes d’orbites. Nous verrons dans le
chapitre consacré au chaos qu’un calcul perturbatif est suffisant pour établir les relations de transfert d’impulsion-énergie entre une onde électrostatique et une particule
et qu’il est inutile d’utiliser les fonctions èlliptiques pour établir ce bilan d’énergieimpulsion.
Soit une particule chargée de charge e et de masse m. L’équation de Newton décrivant
l’interaction de cette particule avec une onde électrostatique −E sin (kx − vt) est
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit