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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
tel énoncé est un abus de langage commun car le petit paramètre par rapport auquel
nous devons effectuer un développement perturbatif n’est pas V mais V /H 0 1.
Soit donc un système hamiltonien décrit par le hamiltonien H = H 0 + V . Considérons la fonction principale de Hamilton S (10.13) dont la variation infinitésimale, en fonction des incréments d’angles initiaux u 0 et finaux u, est donnée par :
d S = J·du − J 0 ·du 0 − Hdt. Introduisons la fonction génératrice F permettant
d’exprimer les actions et angles finaux (J, u) en fonction des actions et angles initiaux
J 0 , u 0
.
F = J· [u − u 0 ] − S → d F = u·dJ − u 0 ·dJ + J·du − J·du 0 − d S
L’orbite du mouvement est donc générée par F suivant les deux relations :
J = J 0 −
∂ F
∂u 0
,
u = u 0 +
∂ F
∂J
Ces relations sont exactes, mais de peu d’utilité, car elles supposent la fonction F
connue, c’est-à-dire la fonction S connue. Or, l’action ne peut être calculée que si les
équations du mouvement, ou l’équation de Hamilton Jacobi, sont intégrables, c’està-dire lorsque nous disposons déjà de la solution du problème. En revanche, ces relations permettent d’établir un développement perturbatif de l’orbite sous l’hypothèse
V H 0 . Remarquons d’abord que F = H 0 (J) t + O [V ] + ... et décomposons la
variation d’action, entre un instant initial et un instant final, en la somme d’un incrément ne dépendant pas des angles initiaux dJ plus un incrément fonction périodique
de ces angles initiaux
dJ, c’est-à-dire dont la moyenne sur ces angles initiaux est
nulle.
J = J 0 + dJ +
dJ → dJ ≡ ≡J − J 0 u0 ,
dJ ≡ J − J 0 − −J − J 0 u0
Un développement de Taylor des relations de génération précédentes au voisinage
des actions initiales J 0 permet d’établir :
J = J 0 −
∂ F
∂u 0
J0
−
∂
2 F
∂u 0 ∂J
J0
·
dJ +
dJ
−
1
2
dJ +
dJ
·
∂
3 F
∂u 0 ∂J∂J
J0
·
dJ +
dJ
+...
La moyenne de ce développement sur les angles initiaux u 0 permet alors d’exprimer
séparément la partie séculaire dJ et la partie oscillante
dJ de la variation d’action.
dJ =
∂
2 F
∂u 0 ∂J 0
·
∂ F
∂u 0
u0
−
1
2
∂ F
∂u 0
·
∂
3 F
∂u 0 ∂J 0 ∂J 0 J0
·
∂ F
∂u 0
u0
+ ...
dJ = −
∂ F
∂u 0
+
∂
2 F
∂u 0 ∂J 0
·
∂ F
∂u 0
−
∂
2 F
∂u 0 ∂J 0
·
∂ F
∂u 0
u0
+ ...
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
tel énoncé est un abus de langage commun car le petit paramètre par rapport auquel
nous devons effectuer un développement perturbatif n’est pas V mais V /H 0 1.
Soit donc un système hamiltonien décrit par le hamiltonien H = H 0 + V . Considérons la fonction principale de Hamilton S (10.13) dont la variation infinitésimale, en fonction des incréments d’angles initiaux u 0 et finaux u, est donnée par :
d S = J·du − J 0 ·du 0 − Hdt. Introduisons la fonction génératrice F permettant
d’exprimer les actions et angles finaux (J, u) en fonction des actions et angles initiaux
J 0 , u 0
.
F = J· [u − u 0 ] − S → d F = u·dJ − u 0 ·dJ + J·du − J·du 0 − d S
L’orbite du mouvement est donc générée par F suivant les deux relations :
J = J 0 −
∂ F
∂u 0
,
u = u 0 +
∂ F
∂J
Ces relations sont exactes, mais de peu d’utilité, car elles supposent la fonction F
connue, c’est-à-dire la fonction S connue. Or, l’action ne peut être calculée que si les
équations du mouvement, ou l’équation de Hamilton Jacobi, sont intégrables, c’està-dire lorsque nous disposons déjà de la solution du problème. En revanche, ces relations permettent d’établir un développement perturbatif de l’orbite sous l’hypothèse
V H 0 . Remarquons d’abord que F = H 0 (J) t + O [V ] + ... et décomposons la
variation d’action, entre un instant initial et un instant final, en la somme d’un incrément ne dépendant pas des angles initiaux dJ plus un incrément fonction périodique
de ces angles initiaux
dJ, c’est-à-dire dont la moyenne sur ces angles initiaux est
nulle.
J = J 0 + dJ +
dJ → dJ ≡ ≡J − J 0 u0 ,
dJ ≡ J − J 0 − −J − J 0 u0
Un développement de Taylor des relations de génération précédentes au voisinage
des actions initiales J 0 permet d’établir :
J = J 0 −
∂ F
∂u 0
J0
−
∂
2 F
∂u 0 ∂J
J0
·
dJ +
dJ
−
1
2
dJ +
dJ
·
∂
3 F
∂u 0 ∂J∂J
J0
·
dJ +
dJ
+...
La moyenne de ce développement sur les angles initiaux u 0 permet alors d’exprimer
séparément la partie séculaire dJ et la partie oscillante
dJ de la variation d’action.
dJ =
∂
2 F
∂u 0 ∂J 0
·
∂ F
∂u 0
u0
−
1
2
∂ F
∂u 0
·
∂
3 F
∂u 0 ∂J 0 ∂J 0 J0
·
∂ F
∂u 0
u0
+ ...
dJ = −
∂ F
∂u 0
+
∂
2 F
∂u 0 ∂J 0
·
∂ F
∂u 0
−
∂
2 F
∂u 0 ∂J 0
·
∂ F
∂u 0
u0
+ ...
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit