10.2 Intégrabilité
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L’oscillateur linéaire est l’un des modèles les plus répandus en théorie des systèmes
dynamiques. Il est pertinent dans le cadre de l’analyse des petites oscillations des
systèmes dynamiques au voisinage d’un point d’équilibre, point O dans l’espace
des phases ; mais, lorsque l’amplitude de l’oscillation ne peut plus être considérée
comme faible, il est nécessaire de prendre en compte les écarts au comportement
linéaire et une modélisation en terme d’oscillateur non-linéaire s’impose.
La première différence essentielle entre les oscillateurs linéaires et non-linéaires est
la non isochronie des oscillations. En effet, pour les oscillateurs linéaires la période
ne dépend pas de l’amplitude : ∂v/∂ J = 0, c’est la loi d’isochronie découverte
par Galilée, alors que dans le cas non-linéaire la période dépend de l’amplitude :
∂v/∂ J = 0. Une deuxième différence, en régime fortement non-linéaire, concerne
la nature topologique du portrait de phase. Dans le cas linéaire les orbites sont organisées autour d’un point, dit O, unique : p = q = 0 (Figure 10.8) ; dans le cas
non-linéaire il est courant de rencontrer des points dits X, à l’intersection de trajectoires particulières appelées séparatrices. Les différentes régions ainsi organisées par
rapport aux points O et X, multiples, constituent des zones permettant de construire
une classification des orbites.
10.2.3 Relation d’Einstein
Les variables canoniques angles et actions sont particulièrement bien adaptées à
l’étude des problèmes d’interactions ondes-particules ; en effet, au delà de la séparation des échelles de temps entre mouvements lent et rapide, lorsque l’on utilise
un système angles-actions, l’angle apparaît en général combiné linéairement avec
la phase de l’onde dont la dynamique est aussi une rotation linéaire en fonction du
temps. Ainsi, dans ce type de problème, il est courant d’introduire le concept de
phase relative entre l’onde et la particule. Cette phase relative est incontrôlable
au sens où, pour un ensemble de particules, la distribution de cette phase est uniforme entre 0 et 2p. Cette situation, où l’un des paramètres de description n’est pas
un paramètre de contrôle, est semblable au cas du paramètre d’impact dans le problème de l’interaction particule-particule. Les quantités physiques doivent donc être
moyennées sur cette phase relative entre le champ et la particule afin de construire
des quantités respectant la nature statistique du problème.
Nous retrouverons ce concept de moyenne sur la phase dans le cadre de la théorie
des perturbations adiabatiques ainsi que dans l’étude du régime chaotique. Ici, nous
allons établir une identité, appelée relation d’Einstein, entre le carré de l’accroissement de l’action au premier ordre, moyennée sur l’angle, et l’accroissement au
deuxième ordre, moyennée sur ce même angle. Par ordre nous entendons un développement perturbatif où (J, u) est un couple de variables angles-actions pour un système décrit par le hamiltonien intégrable non perturbé H 0 (J) et V (J, u, t) (V H 0 )
une perturbation qui induit une évolution des actions. Le calcul de cette évolution
peut être effectué au premier ordre en V puis au deuxième ordre en V etc ; en fait un
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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L’oscillateur linéaire est l’un des modèles les plus répandus en théorie des systèmes
dynamiques. Il est pertinent dans le cadre de l’analyse des petites oscillations des
systèmes dynamiques au voisinage d’un point d’équilibre, point O dans l’espace
des phases ; mais, lorsque l’amplitude de l’oscillation ne peut plus être considérée
comme faible, il est nécessaire de prendre en compte les écarts au comportement
linéaire et une modélisation en terme d’oscillateur non-linéaire s’impose.
La première différence essentielle entre les oscillateurs linéaires et non-linéaires est
la non isochronie des oscillations. En effet, pour les oscillateurs linéaires la période
ne dépend pas de l’amplitude : ∂v/∂ J = 0, c’est la loi d’isochronie découverte
par Galilée, alors que dans le cas non-linéaire la période dépend de l’amplitude :
∂v/∂ J = 0. Une deuxième différence, en régime fortement non-linéaire, concerne
la nature topologique du portrait de phase. Dans le cas linéaire les orbites sont organisées autour d’un point, dit O, unique : p = q = 0 (Figure 10.8) ; dans le cas
non-linéaire il est courant de rencontrer des points dits X, à l’intersection de trajectoires particulières appelées séparatrices. Les différentes régions ainsi organisées par
rapport aux points O et X, multiples, constituent des zones permettant de construire
une classification des orbites.
10.2.3 Relation d’Einstein
Les variables canoniques angles et actions sont particulièrement bien adaptées à
l’étude des problèmes d’interactions ondes-particules ; en effet, au delà de la séparation des échelles de temps entre mouvements lent et rapide, lorsque l’on utilise
un système angles-actions, l’angle apparaît en général combiné linéairement avec
la phase de l’onde dont la dynamique est aussi une rotation linéaire en fonction du
temps. Ainsi, dans ce type de problème, il est courant d’introduire le concept de
phase relative entre l’onde et la particule. Cette phase relative est incontrôlable
au sens où, pour un ensemble de particules, la distribution de cette phase est uniforme entre 0 et 2p. Cette situation, où l’un des paramètres de description n’est pas
un paramètre de contrôle, est semblable au cas du paramètre d’impact dans le problème de l’interaction particule-particule. Les quantités physiques doivent donc être
moyennées sur cette phase relative entre le champ et la particule afin de construire
des quantités respectant la nature statistique du problème.
Nous retrouverons ce concept de moyenne sur la phase dans le cadre de la théorie
des perturbations adiabatiques ainsi que dans l’étude du régime chaotique. Ici, nous
allons établir une identité, appelée relation d’Einstein, entre le carré de l’accroissement de l’action au premier ordre, moyennée sur l’angle, et l’accroissement au
deuxième ordre, moyennée sur ce même angle. Par ordre nous entendons un développement perturbatif où (J, u) est un couple de variables angles-actions pour un système décrit par le hamiltonien intégrable non perturbé H 0 (J) et V (J, u, t) (V H 0 )
une perturbation qui induit une évolution des actions. Le calcul de cette évolution
peut être effectué au premier ordre en V puis au deuxième ordre en V etc ; en fait un
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit