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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
hamiltonien est simplement une forme quadratique prenant en compte la somme de
l’énergie cinétique associée à l’inertie et de l’énergie potentielle associée à une force
de rappel.
H ( p, q) =
p
2
2
+ v
2 q
2
2
(10.25)
La solution des équations de Hamilton décrit des oscillations de position et de
moment en quadrature de phase, le portrait de phase est donc un ensemble d’ellipses
concentriques centrées en p = q = 0 (Figure 10.8). L’amplitude de ces oscillations
est un invariant permettant de construire l’action. La description du mouvement en
terme d’angle et d’action est obtenue à l’aide de la fonction génératrice de première
espèce :
F 1 (q, u) =
v
2
q
2 cot u
Les règles de génération p = ∂ F 1 /∂q et J = −∂ F 1 /∂u sont utilisées pour exprimer
les anciennes variables canoniques en fonction de l’angle et de l’action, et l’angle et
l’action en fonction des anciennes variables canoniques.
q =
2J
v
sin u, p =
√
2J v cos u,
J =
p
2
2v
+
vq
2
2
, u = arctan
v
q
p
(10.26)
L’action est donc proportionnelle à la surface totale balayée par l’orbite dans l’espace
des phases durant une période (Figure 10.8).
p
ωq
θ
2
ω J
Figure 10.8 Portrait de phase d’un oscillateur linéaire.
Le hamiltonien est une fonction linéaire de l’action et les équations de Hamilton
décrivent l’invariance de l’action et la rotation uniforme de l’angle.
H = vJ →
d J
dt
= 0,
du
dt
= v
(10.27)
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