10.2 Intégrabilité
373
superposer. Ces N courbes correspondent aux N contours indépendants permettant
d’enlacer un tore de dimension N . Introduisons les N actions J i :
J i =
1
2p
Ci
p·dq
(10.24)
Ces nombres sont des invariants : en effet, la structuration de l’ensembles des orbites
en tores induit une évolution dynamique des courbes dans la même classe topologique de contour et l’invariant de Poincaré-Helmholtz assure l’invariance de l’intégrale ainsi définie.
J1
J2
θ2
θ1
Figure 10.7 Tores de KAM dans l’espace des phases pour un système à deux degrés de liberté.
Nous disposons donc de N nombres indépendants permettant d’étiqueter chaque tore
et sur chacun de ces tores les coordonnées angulaires peuvent être choisies pour être
canoniquement conjuguées aux actions.
Les variables angles-actions permettent de construire un double ordering des
échelles de temps caractéristiques du mouvement :
• les actions sont des constantes du mouvement et les angles tournent linéairement
en fonction du temps : les actions sont donc des variables lentes et les angles des
variables rapides,
• sauf cas singulier, il existe aussi un ordering supplémentaire entre les vitesses de
rotation des angles : v (J) = ∂ H 0 /∂J → v 1 (J) v 2 (J) v 3 (J) qui autorise à
définir des angles rapides et des angles lents. Ce deuxième ordering suppose que
le système n’est pas dégénéré, c’est-à-dire que v 1 = v 2 = v 3 .
Cette analyse des échelles de temps est essentielle pour construire des méthodes
perturbatives, car il est nécessaire de comparer les échelles caractéristiques de la perturbation et du mouvement non perturbé ; les formalismes newtonien et lagrangien
ne permettent pas une telle analyse et sont donc peu adaptés à la construction de
méthodes perturbatives efficaces.
L’oscillateur harmonique (ou linéaire) est le système intégrable le plus simple et
l’un des plus utilisés pour la modélisation des systèmes dynamiques physiques. Le
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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superposer. Ces N courbes correspondent aux N contours indépendants permettant
d’enlacer un tore de dimension N . Introduisons les N actions J i :
J i =
1
2p
Ci
p·dq
(10.24)
Ces nombres sont des invariants : en effet, la structuration de l’ensembles des orbites
en tores induit une évolution dynamique des courbes dans la même classe topologique de contour et l’invariant de Poincaré-Helmholtz assure l’invariance de l’intégrale ainsi définie.
J1
J2
θ2
θ1
Figure 10.7 Tores de KAM dans l’espace des phases pour un système à deux degrés de liberté.
Nous disposons donc de N nombres indépendants permettant d’étiqueter chaque tore
et sur chacun de ces tores les coordonnées angulaires peuvent être choisies pour être
canoniquement conjuguées aux actions.
Les variables angles-actions permettent de construire un double ordering des
échelles de temps caractéristiques du mouvement :
• les actions sont des constantes du mouvement et les angles tournent linéairement
en fonction du temps : les actions sont donc des variables lentes et les angles des
variables rapides,
• sauf cas singulier, il existe aussi un ordering supplémentaire entre les vitesses de
rotation des angles : v (J) = ∂ H 0 /∂J → v 1 (J) v 2 (J) v 3 (J) qui autorise à
définir des angles rapides et des angles lents. Ce deuxième ordering suppose que
le système n’est pas dégénéré, c’est-à-dire que v 1 = v 2 = v 3 .
Cette analyse des échelles de temps est essentielle pour construire des méthodes
perturbatives, car il est nécessaire de comparer les échelles caractéristiques de la perturbation et du mouvement non perturbé ; les formalismes newtonien et lagrangien
ne permettent pas une telle analyse et sont donc peu adaptés à la construction de
méthodes perturbatives efficaces.
L’oscillateur harmonique (ou linéaire) est le système intégrable le plus simple et
l’un des plus utilisés pour la modélisation des systèmes dynamiques physiques. Le
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit