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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
Cette définition, en apparence analytique et suggérant que le système angles-actions
opère une simple rectification des orbites (Figure 10.6), est en fait topologique.
p
q
J
θ
Figure 10.6 Rectification des orbites à travers la description angles-actions.
En fait, la définition primaire de l’intégrabilité au sens de Poincaré décrit une propriété plus faible que l’existence des angles-actions : l’existence de N constantes
du mouvement indépendantes en involution. Cette dernière propriété est associée
à la structure symplectique de l’espace des phases et sa définition n’est pas indispensable pour la pratique des théories pertubatives dont la maîtrise constitue l’objectif de ce chapitre. Partant de cet énoncé, le théorème de Liouville-Arnold permet
alors d’établir que cette définition primaire est équivalente à l’existence d’un système
angles-actions et précise que ce jeu de variables angles-actions permet de structurer
l’espace des phases en tores de dimension N , repérés par les actions, et que chaque
orbite dans l’espace des phases est tangente en tout point à l’un de ces tores appelés tores de Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM). Un système intégrable au sens de
Poincaré est donc un système dont l’espace des phases est structuré en tores de KAM
emboîtés (Figure 10.7), tel que les orbites soient tangentes en tout point à ces tores.
Les variables angles sont alors les variables naturelles permettant de paramètrer un
point sur un tore donné, ce tore étant identifié par les actions.
L’intégrabilité au sens de Poincaré est donc bien une propriété topologique
associée à la structure de l’ensemble des orbites dans l’espace des phases.
Il est aussi possible d’adopter un point de vue purement topologique et de définir un
système intégrable comme un système dont les trajectoires dans l’espace des phases
sont ordonnées en tores emboîtés de dimension N . Partant de cette définition topologique de l’intégrabilité, définissons sur un tore de dimension N , N coordonnées
angulaires prenant leur valeurs entre 0 et 2p pour repérer un point sur ce tore de
dimension N ; introduisons N courbes ou contours indépendants C i sur chaque tore,
ces contours ne pouvant pas être réduits à un point ou continûment déformés pour se
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
Cette définition, en apparence analytique et suggérant que le système angles-actions
opère une simple rectification des orbites (Figure 10.6), est en fait topologique.
p
q
J
θ
Figure 10.6 Rectification des orbites à travers la description angles-actions.
En fait, la définition primaire de l’intégrabilité au sens de Poincaré décrit une propriété plus faible que l’existence des angles-actions : l’existence de N constantes
du mouvement indépendantes en involution. Cette dernière propriété est associée
à la structure symplectique de l’espace des phases et sa définition n’est pas indispensable pour la pratique des théories pertubatives dont la maîtrise constitue l’objectif de ce chapitre. Partant de cet énoncé, le théorème de Liouville-Arnold permet
alors d’établir que cette définition primaire est équivalente à l’existence d’un système
angles-actions et précise que ce jeu de variables angles-actions permet de structurer
l’espace des phases en tores de dimension N , repérés par les actions, et que chaque
orbite dans l’espace des phases est tangente en tout point à l’un de ces tores appelés tores de Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM). Un système intégrable au sens de
Poincaré est donc un système dont l’espace des phases est structuré en tores de KAM
emboîtés (Figure 10.7), tel que les orbites soient tangentes en tout point à ces tores.
Les variables angles sont alors les variables naturelles permettant de paramètrer un
point sur un tore donné, ce tore étant identifié par les actions.
L’intégrabilité au sens de Poincaré est donc bien une propriété topologique
associée à la structure de l’ensemble des orbites dans l’espace des phases.
Il est aussi possible d’adopter un point de vue purement topologique et de définir un
système intégrable comme un système dont les trajectoires dans l’espace des phases
sont ordonnées en tores emboîtés de dimension N . Partant de cette définition topologique de l’intégrabilité, définissons sur un tore de dimension N , N coordonnées
angulaires prenant leur valeurs entre 0 et 2p pour repérer un point sur ce tore de
dimension N ; introduisons N courbes ou contours indépendants C i sur chaque tore,
ces contours ne pouvant pas être réduits à un point ou continûment déformés pour se
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit