10.2 Intégrabilité
371
Soit F 1 (q, Q, t) la fonction génératrice de cette transformation canonique, l’ancien
moment et le nouveau hamiltonien sont donnés par les identités établies au paragraphe précédent.
p =
∂ F 1
∂q
,
K = 0 = H +
∂ F 1
∂t
F 1 (q, Q, t) vérifie donc l’équation de Hamilton-Jacobi :
H
∂ F 1 /∂q, q, t
+ ∂ F 1 /∂t = 0 ;
or la fonction principale de Hamilton S (q, q 0 , t) est solution de cette équation. La
fonction génératrice solution du problème est donc la fonction principale de Hamilton.
F 1 (q, Q, t) = S (q, Q, t)
(10.22)
Cette fonction existe mais est inconnue car sa connaissance suppose la connaissance de l’action de Jacobi, c’est-à-dire des orbites du mouvement dans l’espace
des phases, ou l’intégration de l’équation de Hamilton-Jacobi.
En fait, à vouloir construire autant d’invariants que de variables on perd toute l’information pertinente sur la dynamique du système. En effet, un mouvement est toujours
la superposition de plusieurs types d’évolutions, rotations, translations, oscillations...
Chacune de ces composantes étant caractérisée par une échelle de temps, il est alors
particulièrement instructif de comparer ces différentes échelles de temps et d’identifier les composantes lentes et les composantes rapides du mouvement. En ce sens, la
transformation canonique qui vient d’être étudiée ne constitue pas une transformation adaptée à l’étude de la dynamique des mouvements présentant plusieurs échelles
de temps. Pour l’étude de tels systèmes considérons un système de variables canoniques, dit système angles-actions, tel que les nouveaux moments, les actions J, restent constants au cours du mouvement et les nouvelles positions, les angles u, varient
linéairement en fonction du temps.
[p, q] → [J (p, q) , u (p, q)] → J (t) = J 0 , u (t) = v (J 0 ) t + u 0
Les pulsations v (J) sont appelées les pulsations (ou fréquences) propres du système.
Le hamiltonien H associé à ce système de variables canoniques est donc nécessairement indépendant des angles u et les pulsations permettent d’identifier les composantes rapides du système.
dJ
dt
= −
∂ H (J)
∂u
= 0,
du
dt
=
∂ H (J)
∂J
= v (J)
(10.23)
Lorsqu’il est possible de construire les variables angles-actions dans tout l’espace des phases, le système est dit intégrable au sens de Poincaré.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Soit F 1 (q, Q, t) la fonction génératrice de cette transformation canonique, l’ancien
moment et le nouveau hamiltonien sont donnés par les identités établies au paragraphe précédent.
p =
∂ F 1
∂q
,
K = 0 = H +
∂ F 1
∂t
F 1 (q, Q, t) vérifie donc l’équation de Hamilton-Jacobi :
H
∂ F 1 /∂q, q, t
+ ∂ F 1 /∂t = 0 ;
or la fonction principale de Hamilton S (q, q 0 , t) est solution de cette équation. La
fonction génératrice solution du problème est donc la fonction principale de Hamilton.
F 1 (q, Q, t) = S (q, Q, t)
(10.22)
Cette fonction existe mais est inconnue car sa connaissance suppose la connaissance de l’action de Jacobi, c’est-à-dire des orbites du mouvement dans l’espace
des phases, ou l’intégration de l’équation de Hamilton-Jacobi.
En fait, à vouloir construire autant d’invariants que de variables on perd toute l’information pertinente sur la dynamique du système. En effet, un mouvement est toujours
la superposition de plusieurs types d’évolutions, rotations, translations, oscillations...
Chacune de ces composantes étant caractérisée par une échelle de temps, il est alors
particulièrement instructif de comparer ces différentes échelles de temps et d’identifier les composantes lentes et les composantes rapides du mouvement. En ce sens, la
transformation canonique qui vient d’être étudiée ne constitue pas une transformation adaptée à l’étude de la dynamique des mouvements présentant plusieurs échelles
de temps. Pour l’étude de tels systèmes considérons un système de variables canoniques, dit système angles-actions, tel que les nouveaux moments, les actions J, restent constants au cours du mouvement et les nouvelles positions, les angles u, varient
linéairement en fonction du temps.
[p, q] → [J (p, q) , u (p, q)] → J (t) = J 0 , u (t) = v (J 0 ) t + u 0
Les pulsations v (J) sont appelées les pulsations (ou fréquences) propres du système.
Le hamiltonien H associé à ce système de variables canoniques est donc nécessairement indépendant des angles u et les pulsations permettent d’identifier les composantes rapides du système.
dJ
dt
= −
∂ H (J)
∂u
= 0,
du
dt
=
∂ H (J)
∂J
= v (J)
(10.23)
Lorsqu’il est possible de construire les variables angles-actions dans tout l’espace des phases, le système est dit intégrable au sens de Poincaré.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit