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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
sont définies de façon semblable et l’ensemble des relations permettant de générer
une transformation canonique à partir des fonctions génératrices est résumé dans le
tableau (10.2).
Tableau 10.2
q
p
Q
P
F 1 (q, Q)
∂F 1
∂q
−
∂F 1
∂Q
F 2 (q, P)
∂F 2
∂q
∂F 2
∂P
F 3 (p, Q) −
∂F 3
∂p
−
∂F 3
∂Q
F 4 (p, P) −
∂F 4
∂p
∂F 4
∂P
Dans le cadre du formalisme hamiltonien, les fonctions génératrices ont à la fois
un rôle formel en permettant d’établir un certain nombre de résultats généraux, et
un rôle opérationnel en permettant de générer les variables angles-actions des mouvements multiplement périodiques. Elles permettent ainsi de construire les théories
perturbatives en régime adiabatique et les descriptions statistiques en régime chaotique. D’un point de vue pratique, nous verrons dans le chapitre consacré à l’interaction champ-particule que les fonctions génératrices constituent un outil indispensable pour l’étude du mouvement des particules chargées, que ce soit en régime
adiabatique, en régime résonnant ou en régime chaotique.
10.2.2 Variables angles et actions
Posons maintenant le problème suivant : existe-t-il une fonction génératrice de
première espèce générant un nouveau système de variables canoniques : [P, Q],
[p, q] → [P (p, q) , Q (p, q)] telles que ces nouvelles variables restent constantes
au cours du mouvement ? Ces constantes du mouvement étant par exemple les
conditions initiales de l’orbite.
q = q (q 0 , p 0 , t)
p = p (q 0 , p 0 , t)
→
Q (q, p, t) = q 0 (q, p, t)
P (q, p, t) = p 0 (q, p, t)
Le hamiltonien K associé à ces nouvelles variables canoniques est donc indépendant
de P et Q, c’est une constante pouvant être prise égale à zéro sans restreindre la
généralité du problème.
dQ
dt
=
∂ K
∂P
= 0,
dP
dt
= −
∂ K
∂Q
= 0
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
sont définies de façon semblable et l’ensemble des relations permettant de générer
une transformation canonique à partir des fonctions génératrices est résumé dans le
tableau (10.2).
Tableau 10.2
q
p
Q
P
F 1 (q, Q)
∂F 1
∂q
−
∂F 1
∂Q
F 2 (q, P)
∂F 2
∂q
∂F 2
∂P
F 3 (p, Q) −
∂F 3
∂p
−
∂F 3
∂Q
F 4 (p, P) −
∂F 4
∂p
∂F 4
∂P
Dans le cadre du formalisme hamiltonien, les fonctions génératrices ont à la fois
un rôle formel en permettant d’établir un certain nombre de résultats généraux, et
un rôle opérationnel en permettant de générer les variables angles-actions des mouvements multiplement périodiques. Elles permettent ainsi de construire les théories
perturbatives en régime adiabatique et les descriptions statistiques en régime chaotique. D’un point de vue pratique, nous verrons dans le chapitre consacré à l’interaction champ-particule que les fonctions génératrices constituent un outil indispensable pour l’étude du mouvement des particules chargées, que ce soit en régime
adiabatique, en régime résonnant ou en régime chaotique.
10.2.2 Variables angles et actions
Posons maintenant le problème suivant : existe-t-il une fonction génératrice de
première espèce générant un nouveau système de variables canoniques : [P, Q],
[p, q] → [P (p, q) , Q (p, q)] telles que ces nouvelles variables restent constantes
au cours du mouvement ? Ces constantes du mouvement étant par exemple les
conditions initiales de l’orbite.
q = q (q 0 , p 0 , t)
p = p (q 0 , p 0 , t)
→
Q (q, p, t) = q 0 (q, p, t)
P (q, p, t) = p 0 (q, p, t)
Le hamiltonien K associé à ces nouvelles variables canoniques est donc indépendant
de P et Q, c’est une constante pouvant être prise égale à zéro sans restreindre la
généralité du problème.
dQ
dt
=
∂ K
∂P
= 0,
dP
dt
= −
∂ K
∂Q
= 0
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit