10.2 Intégrabilité
369
L’identité précédente (10.18) comparée à l’expression d’une variation infinitésimale
(10.19) de la fonction F 1 (q, Q, t) conduit à l’expression des anciens et nouveaux
moments en fonction des dérivées partielles de cette fonction génératrice de première
espèce ainsi qu’à l’identification du nouvel hamiltonien K .
p =
∂ F 1
∂q
,
P = −
∂ F 1
∂Q
,
K = H +
∂ F 1
∂t
Toute fonction du type F 1 (q, Q, t) permet donc de générer une transformation
canonique, mais les trois équations précédentes expriment cette transformation sous
forme implicite. Un travail algébrique de substitution et d’élimination est encore
nécessaire afin d’établir la forme explicite de la transformation canonique.
[p (q, Q, t) , P (q, Q, t)] → [P (p, q, t) , Q (p, q, t)]
Il est possible de définir quatre types de fonctions génératrices de transformation
canonique à l’aide de transformations de Legendre successives. Considérons à cet
effet une fonction génératrice de deuxième espèce : F 2 (q, P, t) définie à partir d’une
fonction génératrice de première espèce F 1 (q, Q, t) :
F 2 (q, P, t) = F 1 (q, Q, t) + P·Q
(10.20)
D’une part, à partir de cette définition et des résultats précédents, l’accroissement
infinitésimal de cette fonction peut être exprimée comme :
d F 2 = p·dq − P·dQ+ (K − H ) dt + P·dQ + Q·dP
D’autre part, cette variation infinitésimale est fonction des incréments des variables
indépendantes et des dérivées partielles de F 2 .
d F 2 =
∂ F 2
∂q
·dq +
∂ F 2
∂P
·dP +
∂ F 2
∂t
dt
Finalement, l’identification, terme à terme, de ces deux expressions permet d’établir
les relations :
p =
∂ F 2
∂q
,
Q =
∂ F 2
∂P
,
K = H +
∂ F 2
∂t
Ce résultat est de même nature que celui concernant les fonctions génératrices de
première espèce ; ici aussi le changement de variable entre les anciens moments et
positions et les nouveaux moments et positions est exprimé de façon implicite et un
travail algébrique supplémentaire est nécessaire pour obtenir une expression explicite
de la transformation canonique généré par F 2 .
[p (q, P, t) , Q (q, P, t)] → [P (p, q, t) , Q (p, q, t)]
Les fonctions génératrices de troisième espèce et de quatrième espèce :
F 3 (p, Q, t) = F 1 (q, Q, t) − p·q,
F 4 (p, P, t) = F 1 (q, Q, t) − p·q + P·Q
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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L’identité précédente (10.18) comparée à l’expression d’une variation infinitésimale
(10.19) de la fonction F 1 (q, Q, t) conduit à l’expression des anciens et nouveaux
moments en fonction des dérivées partielles de cette fonction génératrice de première
espèce ainsi qu’à l’identification du nouvel hamiltonien K .
p =
∂ F 1
∂q
,
P = −
∂ F 1
∂Q
,
K = H +
∂ F 1
∂t
Toute fonction du type F 1 (q, Q, t) permet donc de générer une transformation
canonique, mais les trois équations précédentes expriment cette transformation sous
forme implicite. Un travail algébrique de substitution et d’élimination est encore
nécessaire afin d’établir la forme explicite de la transformation canonique.
[p (q, Q, t) , P (q, Q, t)] → [P (p, q, t) , Q (p, q, t)]
Il est possible de définir quatre types de fonctions génératrices de transformation
canonique à l’aide de transformations de Legendre successives. Considérons à cet
effet une fonction génératrice de deuxième espèce : F 2 (q, P, t) définie à partir d’une
fonction génératrice de première espèce F 1 (q, Q, t) :
F 2 (q, P, t) = F 1 (q, Q, t) + P·Q
(10.20)
D’une part, à partir de cette définition et des résultats précédents, l’accroissement
infinitésimal de cette fonction peut être exprimée comme :
d F 2 = p·dq − P·dQ+ (K − H ) dt + P·dQ + Q·dP
D’autre part, cette variation infinitésimale est fonction des incréments des variables
indépendantes et des dérivées partielles de F 2 .
d F 2 =
∂ F 2
∂q
·dq +
∂ F 2
∂P
·dP +
∂ F 2
∂t
dt
Finalement, l’identification, terme à terme, de ces deux expressions permet d’établir
les relations :
p =
∂ F 2
∂q
,
Q =
∂ F 2
∂P
,
K = H +
∂ F 2
∂t
Ce résultat est de même nature que celui concernant les fonctions génératrices de
première espèce ; ici aussi le changement de variable entre les anciens moments et
positions et les nouveaux moments et positions est exprimé de façon implicite et un
travail algébrique supplémentaire est nécessaire pour obtenir une expression explicite
de la transformation canonique généré par F 2 .
[p (q, P, t) , Q (q, P, t)] → [P (p, q, t) , Q (p, q, t)]
Les fonctions génératrices de troisième espèce et de quatrième espèce :
F 3 (p, Q, t) = F 1 (q, Q, t) − p·q,
F 4 (p, P, t) = F 1 (q, Q, t) − p·q + P·Q
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